第十课时 诱导公式（二）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
公式一～公式四
函数名不变，正负看象限.
Ⅱ.检查预习情况
由－α与α的终边关于直线y＝x对称，可得：
公式五：sin（－α）＝cosα，cos（－α）＝sinα
利用公式二和公式五可得：
公式六：sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα
公式一～公式六统称为诱导公式
Ⅲ.例题分析
课本P22例3，例4
补充例题：
［例1］化简
解：原式＝
＝＝－
［例2］化简
解：原式＝
＝
＝＝
＝＝＝cos300＝
［例2］已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.
分析：依据已知条件及根与系数关系，列出关于m的方程去求解.
解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α＋β＝，
∴cosα＝sinβ
∵方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中
Δ＝4（m＋1)2－4·4m＝4(m－1)2≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根.
又∵cosα＋cosβ＝sinβ＋cosβ＝
cosα·cosβ＝sinβcosβ＝
∴由以上两式及sin2β＋cos2β＝1，得
1＋2·＝()2 解得m＝±
当m＝时，cosα＋cosβ＝＞0，
cosα·cosβ＝＞0，满足题意，
当m＝－时，
cosα＋cosβ＝＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.
综上，m＝
Ⅳ.课堂练习
课本P23练习 1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种解题策略，要细心去体会、去把握.利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度.
Ⅵ.课后作业
课本P24习题14、15、18.
诱导公式（二）
1．下列不等式中，正确的是 （ ）
A.sinπ＞sinπ B.tanπ＞tan(－)
C.sin(－)＞sin(－) D.cos(－π)＞cos(－π)
2．tan300°＋sin450°的值为 （ ）
A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋
3．已知cos(π＋θ)＝－，θ是第一象限角，则sin（π＋θ）和tanθ的值分别为（ ）
A. ，－ B.－， C.－，－ D.－，－
4．已知x∈(1，)，则|cosπx|＋|cos|－|cosπx＋cos|的值是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.－1
5．＝ .
6．若α是第三象限角，则= .
7．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝ .
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
诱导公式（二）答案
1．B 2．B 3．B 4．A 5． 6．－sinα－cosα 7．1
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
分析：对已知条件中的式子与所求式子先利用诱导公式化简，求得sinαcosα，进而求得sinα－cosα的值.
解：∵sin（π－α）－cos(π＋α) ＝ (＜α＜π)
∴sinα＋cosα＝
将其两边平方得：1＋2sinαcosα＝
∴sinαcosα＝－， ∵＜α＜π
∴sinα－cosα
＝＝
又sin3（＋α）＋cos3(＋α)
＝sin3［π－(－α)］＋cos3［π－(－α)］
＝sin3(－α)－cos3(－α)＝－sin3α＋cos3α
＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋cos2α)
＝－·（1－)＝－
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
分析：依据已知条件可得α、β满足条件的情况有：
（1）α在第一象限，β在第二象限；
（2）α在第一象限，β在第三象限；
（3）α在第二象限，β在第三象限.
解：（1）当α在第一象限，β在第三象限时，
α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋ (n∈Z)，则有：
α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝
(2)当α在第一象限，β在第二象限时，α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝sinπ＝－1
(3)当α在第二象限，β在第三象限时，α＝2kπ＋π(k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α+β)＝sinπ＝sin＝
综上，得sin（α+β）＝
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
分析：依据已知条件与所求结论，寻求它们的关系（75°＋α)＋(105°－α)＝180°，结合三角函数诱导公式求得.
解：∵cos(105°－α)＝cos［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－
sin(α－105°)＝－sin［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α)
∵cos(75°＋α)＝ ＞0
又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角
∴sin（75°＋α)＝－
＝－＝－
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－＋＝
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