第五课时 任意角的三角函数(一)
教学目标：
理解并掌握任意角三角函数的定义，理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解三角函数是以实数为自变量的函数，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.
教学重点：
任意角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学难点：
正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.
Ⅱ.讲授新课
对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.
设α是一个顶点在原点，始边在x轴正半轴上的任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）(非顶点).它与原点的距离是r(r＝＞0）
注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的正半轴重合.
(2)OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.
(3)角α的终边只要不落在坐标轴上，就只能是象限角.
(4)角α的终边不是不能落在坐标轴上，而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形，我们将在研究问题的过程中对其进行讨论.
那么，(1)比值 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝ .
(2)比值 叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝.
(3)比值 叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ .
以上三种函数统称为三角函数.
确定的角α，它的终边上任意一点P的坐标都是变量，它与原点的距离r也是变量，这三个变量的三个比值究竟是确定的还是变化的？
根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述三个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即α＝kπ＋（k∈Z)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tanα无意义，除此之外，对于确定的角α，上面的三个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
注意：(1)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.
(2)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关.
(3)比值只与角的大小有关.
我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别?
正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标.
由于角的集合与实数集R之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究.
对于正弦函数sinα＝，因为r＞0，所以 恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠kπ＋（k∈Z).
为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).
在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.
显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜y｜，它们都只能取非负值.
当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段。
如果x＞0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.
如果y＞0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y＜0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段（即规定了起点和终点），把它们的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有
sinα＝ ＝ ＝y＝MP
cosα＝ ＝＝x＝OM
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.
类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的
知识，就有tanα＝ ＝＝AT
这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线.
注意：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
Ⅲ.例题分析
［例1］已知角α的终边经过点P(2，－3)(如图)，求α的三个三角函数值.
解：∵x＝2，y＝－3
∴r＝＝
于是sinα＝ ＝＝－
cosα＝＝＝
tanα＝ ＝－
［例2］求下列各角的三个三角函数值.
(1)0 (2)π (3)
解：(1)因为当α＝0时，x＝r，y＝0，所以
sin0＝0 cos0＝1 tan0＝0
(2)因为当α＝π时，x＝－r，y＝0，所以
sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0
(3)因为当α＝时，x＝0，y＝－r，所以
sin＝－1 cos＝0 tan不存在
Ⅳ.课堂练习
课本P16练习 1、2、3.
Ⅴ.课时小结
任意角三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.
Ⅵ.课后作业
课本P23习题 1、2、3.
任意角的三角函数(一)
1．sin1、cos1、tan1的大小关系是 （ ）
A.tan1＜cos1＜sin1 B.sin1＜cos1＜tan1
C.sin1＜tan1＜cos1 D.cos1＜sin1＜tan1
2．已知角α的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段，则α的终边在（ ）
A.第一象限角平分线上 B.第二象限角平分线上
C.第二或第四象限角平分线上 D.第一或第三象限角平分线上
3．如果＜θ＜，那么下列各式中正确的是 （ ）
A.cosθ＜tanθ＜sinθ B.sinθ＜cosθ＜tanθ
C.tanθ＜sinθ＜cosθ D.cosθ＜sinθ＜tanθ
4．若点P(－3，y)是角α终边上一点，且sinα＝－，则y的值是________.
5．已知角α终边上一点P的坐标是（4a，3a)(a＜0)，则sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________.
6．如果角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合.终边在函数y＝－3x(x≤0)的图象上，则sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________.
7．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值.
8．已知角α终边上有一点P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值.
9．已知θ是第一象限角，试利用三角函数线证明：sinα+cosα＞1.
任意角的三角函数(一)答案
1．D 2．C 3．D 4．－ 5．－ － 6． － －3
7．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值.
分析：r＝，又cosθ＝＝，即rx＝3x
由于x≠0，∴r＝3
∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±.
当x＝时，P点的坐标是（，－2）.
sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝－.
当x＝－时，P点的坐标是（－，－2）
sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝.
答案：当x＝时，sinθ＝－，tanθ＝－
当x＝－时，sinθ＝－，tanθ＝
8．已知角α终边上有一点P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值.
分析：由任意角的三角函数的定义
cosα＝＝x，∴r＝2 ∴sinα＝＝.
另：用x、1表示出r，即r＝
再由cosα＝x，求出x.
进一步求得sinα也可.
9．已知θ是第一象限角，试利用三角函数线证明：sinα+cosα＞1.
提示：作出单位圆以及正弦线、余弦线，利用三角形两边和大于第三边可证得.
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