第九课时 平面向量的数量积及运算律(一)
教学目标：
掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
教学重点：
平面向量的数量积定义.
教学难点：
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝｜F｜·｜s｜cosθ
其中θ是F与s的夹角.
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
Ⅱ.讲授新课
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ (0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明：(1)当θ＝0时，a与b同向；
(2)当θ＝π时，a与b反向；
(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；
(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.
2.数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cosθ(0≤θ≤π).
说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0；
(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
3.数量积的几何意义
两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.
说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.
4.数量积的重要性质
设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角.
①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ0
②a⊥ba·b＝0
③当a与b同向时，a·b＝｜a｜｜b｜
当a与b反向时，a·b＝－｜a｜｜b｜
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝＝
④cosθ＝
⑤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.
5.数量积的运算律
已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a (交换律)
②(λa)·b＝λ (a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)
说明：(1)一般地，(a·b)c≠a(b·c)
(2)a·c＝b·c，c≠0a＝b
(3)有如下常用性质：a2＝｜a｜2，
(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.
［例题］判断正误，并简要说明理由.
①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；
对于②：应有0·a＝0；
对于④：由数量积定义有｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·｜cosθ｜≤｜a｜｜b｜，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；
对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零；
对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.
则a·b＝(λc)·b＝λ (c·b)＝λ (b·c)，
∴(a·b)c＝λ (b·c)c＝(b·c)λ c＝(b·c)a
若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
说明：
1.概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
［例1］已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·.
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜｜＝a＝5，｜｜＝b＝8，C＝60°，
∴·＝｜｜｜｜cosC＝5×8cos60°＝20.
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于
没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，C并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°.
2.向量的数量积不满足结合律
分析：若有(a·b)·c＝a·(b·c)，设a、b夹角为α，b、c夹角为β，则
(a·b)·c＝｜a｜·｜b｜cosα·c，a·(b·c)＝a·｜b｜｜c｜cosβ.
∴若a＝c，α＝β，则｜a｜＝｜c｜，进而有：(a·b)c＝a·(b·c)
这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：
已知｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝，a与b夹角是60°，b与c夹角是45°，则：
(a·b)·c＝(｜a｜｜b｜cos60°)·c＝c，
a·(b·c)＝(｜b｜｜c｜cos45°)·a＝a
而c≠a，故(a·b)·c≠a·(b·c)
3.等式的性质“实数a、b、c，且ab＝ac，a≠0推出b＝c”这一性质在向量推理中不正确.
［例2］举例说明a·b＝a·c，且a≠0，推不出b＝c.
解：取｜a｜＝1，｜b｜＝，a与b的夹角为45°，｜c｜＝，a与c的夹角为0°，显然a·b＝a·c＝，但b≠c.
4.“如果ab＝0，那么a，b中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确.
［例3］已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，求a·b.
解：a·b＝2×3×cos90°＝0，显然a≠0，b≠0，由a·b＝0可推出以下四种可能：
①a＝0，b≠0; ②b＝0，a≠0;
③a＝0且b＝0; ④a≠0且b≠0但a⊥b.
Ⅲ.课堂练习
课本P80练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
Ⅴ.课后作业
课本P82习题 1，2，3
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