1.2.1 任意角的三角函数(1)教案
【教学目标】
1.掌握任意角的三角函数的定义;
2.已知角终边上一点,会求角的各三角函数值;[w~@ww.zz&ste^p.com#]
3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一).
【导入新课】[来源^*:&中教%网~]
【复习导入一】:初中锐角的三角函数是如何定义的?
在中,设对边为,对边为,对边为,锐角的正弦、余弦、正切依次为.
角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义.
【情境导入二】[来源:zzs^tep%.~com@&]
提问:锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?
借助直角三角形,复习回顾.
引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?[来源:z#z@step&.co%m*]
设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;;.
思考:对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?
显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
;;.
思考:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
新授课阶段
1.三角函数定义
在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么:
(1)比值叫做的正弦,记作,即;[来源:%&中#~教网*]
(2)比值叫做的余弦,记作,即;
(3)比值叫做的正切,记作,即;[ww@w.z#~z&st*ep.com]
说明:①的始边与轴的非负半轴重合,的终边没有表明一定是正角或负角,以及的大小,只表明与的终边相同的角所在的位置;
②根据相似三角形的知识,对于确定的角,三个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小;
③当时,的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以无意义.
④除以上两种情况外,对于确定的值,比值、、分别是一个确定的实数,所以正弦、余弦、正切是以角为自变量,一比值为函数值的函数,以上三种函数统称为三角函数.
2.三角函数的定义域、值域
函 数
定 义 域
值 域
[来源:学_科_网]
例1 已知角的终边经过点,求的三个函数制值.
解:因为,所以,于是
;;[www@.zzs%t&ep.^c#om]
变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.
解:,,.[来源:中*国教育出^版网%~#]
例2 求下列各角的正弦值、余弦值、正切值:(1);(2);(3). [来源:学*科*网]
解:(1)因为当时,,,所以
, ,;
(2)因为当时,,,所以
, , ;
(3)因为当时,,,所以
, ,不存在.^*源:%zzstep.&com]
例3 已知角的终边过点,求的正弦值、余弦值、正切值.
解:因为过点,所以, .
当;[中~国^&教育出#*版网]
;;
当;
;.[来源:学.科.网]
变式训练:求函数的值域.[来源:zzst@ep%^&~.com]
解析:分四个象限讨论.
答案:{2,-2,0}
[www&.z~z*st@ep.com#]
4.三角函数的符号
由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:[来源:]
①正弦值对于第一、二象限为正(),对于第三、四象限为负();
②余弦值对于第一、四象限为正(),对于第二、三象限为负();
③正切值对于第一、三象限为正(同号),对于第二、四象限为负(异号).
说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值.
5.诱导公式
由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同.
即有:, , (其中).
课堂小结[来@源:^中国教~育%出版#网]
1.任意角的三角函数的定义;
2.三角函数的定义域、值域;
3.三角函数的符号及诱导公式.
作业 见 同步练习[ww~w.zzs%#t@ep.^com]
拓展提升
1. 是第二象限角,P(,)为其终边上一点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
2. 是第二象限角,且,则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3、如果那么下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题[来源%#~^:中教网&]
4. 已知的终边过(9,)且,,则的取值范围是 .
5. 函数的定义域为 .
6. 的值为 (正数,负数,0,不存在).
三、解答题
7.已知角α的终边上一点P的坐标为()(),且,求.
参考答案[来源^*:中教%网]
一、选择题:
1. A 2 . C 3. D[来源:学|科|网]
二、填空题
4. 5. 6. 负数[来@源:中#&%国~教育出版网]
三、解答题[来源#*:中国教^育出~&版网]
7. 解:由题意,得:
解得:,所以
[来源#:%zzs^t~ep.co&m]
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