2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计 【教学目标】[来源~@:&中国教育#*出版网] 1．了解平面向量基本定理；[zzst@ep.co^%&#m] 2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；[中%*&@国教育出~版网] 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】[ww*w.z#zs~tep.co^m@] 复习引入： 实数与向量的积 实数λ与向量
的积是一个向量，记作：λ
.（1）|λ
|=|λ||
|；（2）λ>0时，λ
与
方向相同；λ<0时，λ
与
方向相反；λ=0时，λ
=
. 2．运算定律 结合律：λ(μ
)=(λμ)
；分配律：(λ+μ)
=λ
+μ
， λ(
+
)=λ
+λ
. 3. 向量共线定理 向量
与非零向量
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使
=λ
. 新授课阶段[中~国&^教育出%版网@] 一、平面向量基本定理：如果
，
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数λ1，λ2使
=λ1
+λ2
. 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底
不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底
给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被
，
，
唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示[z@~z^step.#*com] 如图，在直角坐标系内，我们分别取与
轴、
轴方向相同的两
个单位向量
、
作为基底.任作一个向量
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
、
，使得
…………○1 我们把
叫做向量
的（直角）坐标，记作
…………○2 其中
叫做
在
轴上的坐标，
叫做
在
轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与
相等的向量的坐标也为
. 特别地，
，
，
. 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作
，则点
的位置由
唯一确定. 设
，则向量
的坐标
就是点
的坐标；反过来，点
的坐标
也就是向量
的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个
平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 三、平面向量的坐标运算 （1）若
，
，则

，

.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为
、
，则


，，，即

，同理可得

. （2）若
，
，则
. 一个向量的坐标等
于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.[w~@ww.zz&ste^p.com#]
=
(
=( x2，y2) -(x1，y1)= (x2( x1，y2( y1). （3）若
和实数
，则
. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原
来向量的相应坐标.[www.z@%#z&st*ep.com] 设基底为
、
，则


，即
. 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求
的坐标. 例2 已知
=(2，1)，
=(-3，4)，求
+
，
-
，3
+4
的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A((2，1)，B((1，3)， C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由
，得D1=(2，2). 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=((6，0). 例4 已知三个力
(3，4)，
(2，(5)，
(x，y)的合力
+
+
=
，求
的坐标. 解：由题设
+
+
=
，得：(3，4)+ (2，(5)+(x，y)=(0，0)， 即：
∴
∴
((5，1).[w~ww.z#zs^te%p@.com] 例5 已知
=(2,1),
=(－3,4),求
＋
，
－
，3
＋4
的坐标. 解：
＋
＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
－
＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)， 3
＋4
＝3（2,1
）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19). [w@ww.zzs*&te#p.com~] 点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解. 例6 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标. 解：设点D的坐标为（x,y）, [z^@zstep&.co%*m] 即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.[w@w*w.zz^&step.c~om] 所以顶点D的坐标为（2，2）. 另解：由平行四边形法则可得 例7 经过点
的直线分别交
轴、
轴于点
，且
，求点
的坐标. 解：由题设知，
三点共线，且

，设
， ①点
在
之间，则有
， ∴
. 解之
得：
， 点
的坐标分别为
. ②点
不在
之间，则有
，同理，可求得点
的坐标分别为
，
. 综上，点
的坐标分别为
或
，
.[z#z~step&.co%m*] 例8. 已知三点
，若
，试求实数
的取值范围，使
落在第四象限. 解：设点
，由题设得
，[^@中教网&~%] ∴
， 要使
落在第四象限，则
，[来^@源:zzstep&.com#%] 解之得
. 例8 已知向量
，问是否存在实数
同时满足两个条件：
？如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由.[来
@源#:^中国教育&出版~网] 解：假设满足条件的实数
存在，则有
解之得：
∴满足条件的实数
. 课堂小结 （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. [来~*源:中&国教育出版网#@] 作业 见同步练习 拓展提升 1.设

是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ）[来*源%:z#zstep&.c^om] A.
，
B.
+
，
C.
，2
D.
，
+
2. 设

是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A.
+
和
-
B. 3
-2
和4
-6
C.
+2
和2
+
D.
+
和
[中&国教育#*~出^版网] 3. 已知

不共线，
=

+
，
=4
+2
，并且

，
共线，则下列各式正确的是（ ） A.
=1， B.
=2， C.
=3， D.
=4 4.设
=
+5
，
=-2
+8
，
=3
-3
，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ） A. A，B，C B.　A，C，D C.　A，B，D D.　Ｂ，Ｃ，Ｄ[中国教%#&育出版@网^] ５．下列说法中，正确的是（　　） ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；　　　　　　　②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；　　　　　　③零向量不可作为基底中的向量. Ａ．①②　　　　Ｂ．①③　　　　Ｃ．②③　　　　Ｄ①②③ ６．已知


是同一平面内两个不共线的向量，那么
下列两个结论中正确的是（　　） ①

+

（
，
为实数）可以表示该平面内所有向量；　　　　　　　　　　　　　②若有实数
，
使

+

＝
，则
＝
＝０. Ａ．①　　　Ｂ．②　　　Ｃ．①②　　　Ｄ．以上都不对 ７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若
＝
，
＝
，则
＝（　　） Ａ．
（
－
）　　　Ｂ．　－
（
－
） Ｃ．－
（
＋
）　　　Ｄ．
（
＋
）[来~源:中国教育出版%&^网#] ８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，
＝
，
＝
，则

＝（　　） Ａ．
（
－
）　　　Ｂ．　－
（
－
） Ｃ．
＋

　　　Ｄ．
（
＋
） ９．如果３
+４
＝
，２
+３
＝
，其中
，
为已知向量，则
＝　　　，
＝　　　　　　　　. １０．已知

是同一平面内两个不共线的向量，且
＝２
+ｋ
，
＝
+３
，
＝２
－
，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为　　　　　. １１．当ｋ为何值时，向量
＝４
+２
，
＝ｋ
＋
共线，其中
、
是同一平面内两个不共线的向量. １２．已知：
、
是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量
＝ｋ
+
与
＝
＋ｋ
共线？ 参考答案 1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.
10.－8 11．②③⑤ 12.k=2

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