2.4《平面向量的数量积》教学设计 【教学目标】 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；[中国#教*%育@出版网~] 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入： 1．向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.[来#源:%中国@教育~出&版网] 2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 3．平面向量的坐标表示 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 把叫做向量的（直角）坐标，记作 4．平面向量的坐标运算 若，，则，，.[中国&%@教育^出版~网] 若，，则 5．∥ (()的充要条件是x1y2-x2y1=0 6．线段的定比分点及λ P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ， 使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：[中~@国教育^出#*版网] λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分点坐标公式： 若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比. 8. 点P的位置与λ的范围的关系： ①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点. ②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.[z&zstep*~@.^com] 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：[来源@~^:&中教网*] 在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，[来^@源:zz#step&%.com] 可得=. 10．力做的功：W = |F|(|s|cos(，(是F与s的夹角. 新授课阶段 1．两个非零向量夹角的概念[来@源:^中国教育~%出版#网] 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0(≤(≤180( [w*^ww.z&zst@e%p.com] 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos(叫ａ与ｂ的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，[来^源~:#中国教育出版网%@] （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. (探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos(的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a(b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0.因为其中cos(有可能为0.[zz&step%.com@#~] （4）已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c.但是a(b = b(c a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA|，b(c = |b||c|cos( = |b||OA| ( a(b = b(c 但a ( c (5)在实数中，有(a(b)c = a(b(c)，但是(a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 3．“投影”的概念：作图[来@源:z%zstep.&^co*m]    定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当( = 0(时投影为 |b|；当( = 180(时投影为 (|b|. 4．向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1( e(a = a(e =|a|cos( 2( a(b ( a(b = 0[来~源#:中国教育出版^网&%] 3( 当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|. 特别的a(a = |a|2或 4( cos( = 5( |a(b| ≤ |a||b| 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确； 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；[来&#源%:中国^教~育出版网] 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜； 对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс. 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），[来#源:~%中教^网*] ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ[中&国教育出版^*@#网] 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ. 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 课堂小结[中*国教^&%育#出版网] （略）[来#源:中%国@教育出~&版网] 作业 （略） 拓展提升 1.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则 （ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2. 设两点的坐标分别为.条件甲：；条件乙：点的坐标是方程的解.则甲是乙的  （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知与的夹角为，则以为邻边的平行 四边形的较短的对角线长为 （ ） A. B. C. D.[%zzste*p.com~@&] 4.把点按向量平移到点，此时点在的延长线上，且， 则点的坐标为 . 5.把函数的图象按向量平移,得到的图象,且,， ,则  . 6.不共线向量，的夹角为小于的角，且，已知向量，求[来%*源:中@教网^&] 的取值范围. 7. 已知向量满足，且，其中. （1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值； （2）当取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果作出几何解释.[w*ww~.z^z#step.com&] 8. 已知向量. （1）求及；； （2）求函数且的最小值. 参考答案 1 提示：设，则有且. 2 提示：设点的坐标为.  , ∴，∴甲是乙的充要条件. 3 提示：经验证，知以为对角线时，其长度较短，. 4 提示：点的坐标为，设点的坐标为，则，可求得点的坐标为. 5  提示：由函数 的图象按向量平移,得到的图象，可得；设，由和得：，解之得. 6 解：（其中为与的夹角）. ∵, ∴, ∴, ∴的取值范围为. 7解：（1）. ∴,此时，. ∴，的最大值为，此时与的夹角的值为. （2）由题意，，故， ∴当时，的值最小，此时，这表明当. 8解：（1）；[ww~w.#zzst&*e@p.com]  . （2）, ∵, ∴是减函数， ①当时，的最小值为； ②当时，的最小值为.[来^源:z#zstep%&.~com] 综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
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