3.1.《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计 【教学目标】 1.掌握两角和与差公式的推导过程； 2.培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；[中国#教*%育@出版网~] 3.发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质； 4.引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 【导入新课】 创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题.并针对问题中的
用计算器或不用计
算器计算求值，以激趣激疑，导入课题.[来源:&中*教%#网~] 教师问：想一想:学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)[来%源:中教网~@^&] 问题：（1）能不能不用计算器求值 ：
，

，
？ （2）
设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向. 新授课阶段 一、两角差的余弦公式的推导过程 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角
、
、
的终边 ？ ②怎样作出角
的余弦线OM？ ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式？ 设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识.
设角
终边与单位圆地交点为P1，
. 过点P作PM⊥X轴于点M，那么O
M就是
的余弦线. 过点P作P
A⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C 那么OA表示
，AP表示
，并且
[来源:中@教网*^&%] 于是OM=OB+BM=OB+CP=OA
+AP
=
. 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：
、
、
都是锐角，且
. 2.向量法：[来源%&^@:中#教网] 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量
积的概念和计算公式得到结果？[中国*教^育~&出版%网] 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论.[来^%源:中教网#~*] 设计意图
：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性.[来源:] 如图，建立单位圆O：

，由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有
[来~源:中国教育出&@版^网#] 因为

、
、都是任 意 角,所以
也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个
，使得
.[w%ww.*zz#s~te@p.com]
[来源#:&zzstep^@%.com][来源:学§科§网]

于是对于任意角
、
都有

例1 利用差角余弦公式求
的值. （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）[来~源:%^*中教网&] 解法1：
解法2：

（让学生联系公式
和本题的条件，考虑清楚要计算
，应作哪些准备） 解：由
，得
又由
，
是第三象限角，得
所以
[来源~:中%@教#网&] 让学生结合公式
，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决. 二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导与运用


．
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有
、
的形式呢？（分式分子、分母同时除以
，得到
．[来#源:中*国教育出版^网%~] 注意：
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推导出两角差的正切公式呢？
注意：
． 例3 已知
是第四象限角，求
的值. 解：因为
是第四象限角，得
，
， 于是有
[来源:Z|xx|k.Com]
两结果一样，我们能否用第一章知识证明？
例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：[w^ww&.z*zstep.com%~] （1）
；（2）
；（3）

． 解：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相像. （1）
； （2）
； （3）
． 例5 化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

思考：
是怎么得到的？
，
我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于
和
的. 课堂小结 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题
过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题
[中^国教#育出~版&*网] 1.
的值为 （ ） A.
B.

C.
D.
2.
的值为 （ ） A.
B.
C.
D
. 3.已知
，则
的值等于（ ） A.
B.
C.
D.

[中国*教育%&出版#网@] (A)
(B)
(C)
(D
)

(A)
(B)

(D)

(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题 7.化简
= .[来源:学科网] 8.若
，则
= .
[来源&^@:zzstep.com%#]

三、解答题、 12.已知
，求
的值.[来源:Z&xx&k.Com] 参考答案 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.
8.
9.
10.1 1
1.
12.解：由
，得
； 又由
，得
；[来&源:zz~s#t*ep.@com] 因此，
=

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