3.2《简单的三角恒等变换》教学设计 【教学目标】 1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）， 2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式
、
、
先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意
.既然能用单角 表示倍角，那
么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段 半角公式的推导及理解
： 试以
表示
． 解析：我们可以通过二倍角
和
来做此题．（二倍角公式中以(代2(，
代(） 解：因为
，可以得到
； 因为
，可以得到
． 两式相除可以得到
． 点评：⑴以上结果还可以表示为：


[ww#w~.z%zst@ep^.com] 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由
角的象限决定. ⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点. 例2 求证： （１）
； （２）
． 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察
公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为
和
是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；
． 两式相加得
； 即
； （２）由（１）得
①；设
， 那么
．[来&源~:*zzstep.co@m%]
把
的值代入①式中得
． 点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差
的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例３ 求函数
的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.[中~@%国*教^育出版网] 解：

， 所以，所求的周期
，最大值为２，最小值为
．[www.zz~*ste&^p.@com] 点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对
函数
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 课堂小结 用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方
法加深认识，学会灵活运用． 作业[来源:Z&xx&k.Com] 课本p143 习题3.2 A组1、（1）（5） 3 、5[来#%源&:~中教^网] 拓展提升 1．已知cos（α+β）cos（α－β）=
，则cos2α－sin2β的值为（ ）[w^&ww.zzst%~ep.#com] A．－
B．－
C．
D．
2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2
，则△ABC是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 [来源^:&*@中~教网] C．不等边三角形 D．直角三角形 3．sinα+sinβ=
（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） A．－
B．－
C．
D．
[来源:学+科+网Z+X+X+K] 4．已知cos（α+β）cos（α－β）=
，则cos2α－sin2β的值为（ ） A．－
B．－

C．
D．
5．在△ABC中，若sinAsinB=cos2
，则△ABC是（ ）[来源:Z#xx#k.Com] A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 6．sinα+sinβ=
（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） A．－
B．－
C．
D．
7．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，则cos2α－cos2β等于（ ） A．－m B．m C．－4m D．4m 二、填空题 8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________． 9．已知α－β=
，且cosα+cosβ=
，则cos（α+β）等于_________． 三、解答题 10．已知f（x）=－
+
，x∈（0，π）． （1）将f（x）表
示成cosx的多项式； （2）求f（x）的最小值． [来源:学科网ZXXK] 12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，
，求cos
的值． 13． 已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b， 求证：（2cos2A+1）2=a2+b2． 14． 求证：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α． 15． 求函数y=cos3x·cosx的最值． 参考答案 一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．
9．－
三、解答题 10．解：（1）f（x）=
=cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1． （2）∵f（x）=2（cosx+
）2－
，且－1≤cosx≤1， ∴当cosx=－
时，f（x）取得最小值－
． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B=60°，A+C=120
°， ∵－
=－2
， ∴
=－2
． 将上式化简为cosA+cosC=－2
cosAcosC， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos
cos
=－
［cos（A+C）+cos（A－C）］， 将cos
=cos60°=
，cos（A+C）=cos120°=－
代入上式得cos
=
－
cos（A－C）， 将cos（A－C）=2cos2（
）－1代入上式并整理得4
cos2（
）+2cos
－3
=0， 即［2cos
－
］［2
cos
+3］=0．
∵2
cos
+3≠0，∴2cos
－
=0． ∴cos
=

． 12．证明：由已知得
∴
两式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2． 13．证明：左边=
（1+cos2x）+
［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+
［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］ =1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α[来源:Z|xx|k.Com] =1－cos2α=sin2α =右边， ∴原不等式成立． 14．解：y=cos3x·cosx =
（cos4x+cos2x） =
（2cos22x－1+cos2x） =cos22x+
cos2x－
=（cos2x+
）2－
．
∵cos2x∈［－1，1］， ∴当cos2x=－
时，y取得最小值－
； 当cos2x=1时，y取得最大值1．

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