第六课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(三)
教学目标：
进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用；提高学生的推理能力，培养学生用联系变化的观点看问题，提高学生的数学素质，使学生树立科学的世界观.
教学重点：
利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题.
教学难点：
怎样使学生对所学知识融会贯通，运用自如.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）＝
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a≠c)的两个根为tanα、tanβ，
求tan(α＋β)的值.
分析：由题意可得tanα、tanβ为一元二次方程的两根，由韦达定理可知tanα＋tanβ＝－，且tanα·tanβ＝，联想两角和的正切公式，不难求得tan(α＋β)的值.
解：由a≠0和一元二次方程根与系数的关系，可知：
且a≠c
所以tan(α＋β)＝＝＝－＝.
评述：在解题时要先仔细分析题意，联想相应知识，选定思路，再着手解题.
［例2］设sinθ＋cosθ＝，＜θ＜π，求sin3θ＋cos3θ与tanθ－cotθ的值.
解：∵sinθ＋cosθ＝
∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝
∴sinθcosθ＝－
又sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)
＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝ (1＋)＝
又∵＜θ＜π ∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴sinθ－cosθ＝
∴tanθ－cotθ＝－＝
＝＝＝－
评述：(1)在sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ中，知其中之一便可求出另外两个.
(2)解决有关sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ的问题是三角函数中的一类重要问题.
［例3］tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝_____.
解：原式＝tan2A［tan(30°－A)＋tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2Atan［(30°－A)＋(60°－A)］［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］
＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2Atan(90°－2A)［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝1
评述：先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.
［例4］已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.
解：由题意知
∴tan(α＋β)＝＝＝
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝cos2(α＋β)［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］
＝［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］
＝［()2－3×－3］＝－3
［例5］已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值.
解：由α为锐角，cosα＝，∴sinα＝.
由α、β为锐角，又tan(α－β)＝－
∴cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－
∴cosβ＝cos［α－(α－β)］＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝×＋×(－)＝
Ⅲ.课堂练习
1.若方程x2＋mx＋m＋1＝0的两根为tanα、tanβ.求证sin(α＋β)＝cos(α＋β).
解：由题意可知
由：tan(α＋β)＝
得：tan(α＋β)＝＝1
即：sin(α＋β)＝cos(α＋β)
∴命题得证.
评述：要注意已知条件与所求结论中涉及三角函数的关系，选择适当的关系式进行转化.
2.若△ABC的三内角成等差数列，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋，求角A、B、C的大小.
分析：由A、B、C为△ABC的三内角，可知A＋B＋C＝180°，又已知A、B、C为等差数列，即2B＝A＋C，所以B＝60°且A＋C＝120°与已知条件中的tanAtanC＝2＋可联系求出tanA、tanC，从而确定A、C.
解：由题意知： 解之得：B＝60°且A＋C＝120°
∴tan(A＋C)＝tan120°＝－＝
又∵tanAtanC＝2＋
∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)(1－tanAtanC)
＝tan120°(1－2－)＝－ (－1－)＝3＋
∵tanA、tanC可作为一元二次方程x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根
又∵0＜A＜B＜C＜π
∴tanA＝1，tanC＝2＋ 即：A＝45°，C＝75°
答：A、B、C的大小分别为45°、60°、75°.
评述：要注意挖掘隐含条件，联想相关知识，构造方程等等.
3.如果sinα＋sinβ＝a，cosα＋cosβ＝b，ab≠0，则cos(α－β)等于 ( )
A. B. C. D. －1
分析：由已知条件中的两关系式结合同角三角函数的平方关系式sin2α＋cos2α＝1不难求得cos(α－β)，再利用平方关系求得sin(α－β).
解：由
得：a2＋b2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ
＝2＋2cos(α－β)
∴cos(α－β)＝－1
评述：遇到这种已知条件式时，往往要结合同角三角函数平方关系式.
Ⅳ.课时小结
在解决三角函数问题时，常常要将和角公式、差角公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等等综合使用.
Ⅴ.课后作业
课本P101 9 ，10，11，13
两角和与差的余弦、正弦、正切(二)
1．cos（－15°）等于 （ ）
A. B. C. D.
2．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC的形状为 （ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.以上均可能
3．sin－cos的值是 （ ）
A.0 B.－ C. D.2
4．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)等于 （ ）
A. B. C. D.
5．的值是 （ ）
A.2 B.－2 C. D.－
6．已知cosθ＝－，且θ∈（π，π），则tan（θ－）= .
7．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于 .
8．若cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，则tanα·tanβ＝ .
9．已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，则cos(α－β)＝ .
10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，计算sin2α的值.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－.
求的值.
12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
求证：tan(α＋β)＝2tanα.
两角和与差的余弦、正弦、正切(二)答案
1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6． 7．－ 8． 9．
10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，计算sin2α的值.
利用sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］可求得sin2α＝－.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－.
求的值.
解：由题知tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanα·tanβ＝2m
＝＝
＝＝
12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
求证：tan(α＋β)＝2tanα.
sinβ＝sin［(α＋β)－α］
sin(2α＋β)＝sin［(α＋β)＋α］ 两边展开、移项，合并同类项即可.
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