第三章《三角恒等变换》教学设计（复习课）
【教学目标】[www~.*zzs&tep.c#om^]
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
新授课阶段
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？
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2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等.
知，求sin4(的值．
解：∵ ∴
∴ ∴cos2( =
又∵ ∴2(( ((, 2()[来源&:中教网@*#^]
∴sin2( = [w#ww.zz@s^tep%~.com]
∴sin4( = 2sin2(cos2( =
例2 已知(是三角形中的一个最小的内角，且，求a的取值范围．
解：原式变形：
即，显然 （若，则 0 = 2）
∴ 又∵，∴
即： 解之得：[中国#%&教育出^@版网]
例3 求证：的值是与(无关的定值．[来#%源:中国教育&出版网^@]
证：
∴的值与(无关
例4 已知．[中&国教#育^@*出版网]
解：由得
解方程组 得 或
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例5 求值：．
解：原式=
例6 ．已知函数.
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值．[%&z~z^step.@com]
解：（Ⅰ）由 得，
故在定义域为
（Ⅱ）因为，且是第四象限的角, 所以
故
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例7 已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值.
分析：角之间的关系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角间的三角函数的关系便可求之.
解：∵（－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）.
又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x）cos（－x），
∴=2cos（－x）=2×=.
例8 求证: [*中#教&@网~]
解：原式=
=
= ===tan.
例9 已知，，都是锐角，求 的值.
解：由得3sin2α=1－2sin2β=cos2β.
由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cosαcos2β－sinαsin2β
=3cosαsin2α－sinα·sin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）.
∴α+2β=.
课堂小结
三角恒等式的证明方法有：
从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简.
等式两边同时变形成同一个式子.将式子变形后再证明.
作业
见同步练习
拓展提升
1．若，则等于
（A） （B）
（C） （D）
2．函数y=sin2x+sinx,x的值域是( )
(A)［-,］ (B) ［］
(C) ［-,］ (D)［］
3．已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
4．已知tan=,则的值为（ ）[www.*zz@&step.~co^m]
A． B．- C． D．-
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5．．，则 ．
6．已知，若，则．
若 , 则．
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7．若,则的值为_______．
8．已知锐角三角形ABC中，求 的值．
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9．
10．设函数的最大值为M，最小正周期为T．
求M，T；
若有10个互不相等的正数满足M，且（i=1,2,…10），
求…的值.[来%源~&:中*教@网]
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参考答案[来%源#:zz~step.*com&]
1．C
2．B 提示：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式[z#z@step.&co%m*]
3．D 4．A提示：
5．． 提示：由已知得，
6． 提示：
当，当
7． 提示：去分母后两边平方可得
8 解：
9 解：[来源%:中~教网#@^]
10 解：（1）
（2）：，
即 ，又是互不相等的正数且（i=1,2,…10），
故 0，1，…9．所以…
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