课时目标　1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．
1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题． 2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．
一、选择题 1．下列语句中是命题的是(　　) A．周期函数的和是周期函数吗？ B．sin 45°＝1 C．x2＋2x－1>0 D．梯形是不是平面图形呢？ 2．下列语句中，能作为命题的是(　　) A．3比5大 B．太阳和月亮 C．高年级的学生 D．x2＋y2＝0 3．下列命题中，是真命题的是(　　) A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集 B．若x2＝1，则x＝1 C．空集是任何集合的真子集 D．x2－5x＝0的根是自然数 4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题： ①M的元素都不是P的元素； ②M中有不属于P的元素； ③M中有P的元素； ④M中元素不都是P的元素． 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是(　　) A．这个数能被2整除 B．这个数能被3整除 C．这个数既能被2整除，也能被3整除 D．这个数是6的倍数 6．在空间中，下列命题正确的是(　　)
A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 题号 1 2 3 4 5 6  答案        二、填空题 7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________． 8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p是__________________________，结论q是________________________________． 9．下列语句是命题的是________． ①求证是无理数； ②x2＋4x＋4≥0； ③你是高一的学生吗？ ④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0. 三、解答题 10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除． (2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根． 11．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 能力提升 12．设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题： ①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1； ③若l＝，则－≤m≤0. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 13．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若m?α，n?α，m∥β， n∥β，则α∥β； ③若α∥β，l?α，则l∥β； ④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4
1．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可． 3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p则q”的形式，改法不一定唯一． 第一章　常用逻辑用语 §1.1　命题及其关系 1．1.1　命题 答案 知识梳理 1．真假　陈述句　真　假 2．条件　结论 作业设计 1．B　[A、D是疑问句，不是命题，C中语句不能判断真假．] 2．A　[判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．“3比5大”是一个假命题．] 3．D　[A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中若x2＝1，则x＝±1，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选D.] 4．B　[命题②④为真命题．] 5．C　[命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．] 6．D 7．①④ 解析　①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数　这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤ 解析　①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立． 10．解　(1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题． (2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实数根，真命题． 11．解　若命题p为真命题，可知m≤1； 若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2. 所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真， 即或　 故m的取值范围是1－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．命题“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题是(　　) A．若A∪B≠A，则A?B B．若A∩B≠A，则A
B C．若A
B，则A∩B≠A D．若A?B，则A∩B≠A 3．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是(　　) A．它的逆命题是真命题 B．它的否命题是真命题 C．它的逆否命题是假命题 D．它的否命题是假命题 4．有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题． 其中的真命题是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数 B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数 C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数 D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数 题号 1 2 3 4 5 6  答案        二、填空题 7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________． 8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是 ________________________；逆命题是______________________；否命题是 ________________________． 9．有下列四个命题： ①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②若a2＋b2＝0，则a，b全为0； ③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆命题． 其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 三、解答题 10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0； (3)对顶角相等． 11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)实数的平方是非负数； (2)等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧． 能力提升 12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换． 2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题． 1．1.2　四种命题 答案 知识梳理 1．(1)结论和条件　(2)条件的否定和结论的否定　(3)结论的否定和条件的否定 2．若q成立，则p成立　若綈p成立，则綈q成立 若綈q成立，则綈p成立 作业设计 1．B　[由a>－3?a>－6，但由a>－6
a>－3， 故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.] 2．C　[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．] 3．D　4.C 5．C　[原命题和它的逆否命题为真命题．] 6．A　[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．] 7．若x≤y，则x3≤y3－1 8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数 能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数 各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除 9．②③ 10．解　(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”． 逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”． 否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”． 逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”． (2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”． 逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”． 否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”． 逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”． (3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”． 逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”． 否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”． 11．解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数． 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数． (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高． 否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高． (3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧． 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线． 12．B　[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.] 13．解　逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集． 否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0. 逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集． 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． 1.1.3　四种命题间的相互关系 课时目标 1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系． 2．会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题[来源:]  真 真 真 真  真 假 假 真  假 真 真 假  假 假 假 假  (2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题 1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是(　　) A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p正确 C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确 2．下列说法中正确的是(　　) A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价 C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是(　　) A．能被2整除的整数，一定能被6整除 B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除 C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除 D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除 4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　) A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0 B．若a＝b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0 C．若a≠0，且b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0 D．若a≠0，或b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0 5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(　　) A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真 6．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l?α，m?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么(　　) A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 题号 1 2 3 4 5 6  答案        二、填空题 7．“已知a∈U(U为全集)，若a??UA，则a∈A”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题． 8．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”) 9．下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若>， 则a2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假． 11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 能力提升 12．给出下列三个命题： ①若a≥b>－1，则≥； ②若正整数m和n满足m≤n，则≤； ③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 13．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．[来源: ]
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个． 2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的． 1．1.3　四种命题间的相互关系 答案 知识梳理 1．若q，则p　若綈p，则綈q　若綈q，则綈p 2．(2)①相同　②没有关系 作业设计 1．D　[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D　3.D 4．D　[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.] 5．D　[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．] 6．D 7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a??UA　真 解析　“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a??UA”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a??UA”．它为真命题． 8．假　9.①②[来源: ] 10．解　逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题． 11．证明　假设a＋b<0，即a<－b， ∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)－1?a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题． ②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝，y＝，知本命题为真． ③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．] 13．解　能确定．理由如下： 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑． ①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c. ②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c. 从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．

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