一、教学目标 1．知识与技能 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度等实际问题，了解常用的测量相关术语 2．过程与方法[来源: ] 经历应用正、余弦定理分析问题解决问题的过程，能对一些常见的距离、高度、角度等相关测量问题进行归类分析,思考常见的解决办法. 3．情感、态度与价值观 激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 二、教学重点、难点 重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，结合实际测量工具，得到实际问题的解 难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件. 三、教学方法 启发式，讨论式 四、教学过程 （一）创设情景，导入课题 1.复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2. 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，如在测量距离、高度、角度等问题中有哪些应用价值，怎样用？ 3、引导同学思考：在所给问题中为什么要给这些已知条件，而不是其他条件？从例题或习题中的一组已知条件常常隐含着对于这类测量问题在某一特定情景和条件限制下的一个测量方案.在这种情景与条件限制下，别的方案中的量可能无法测量出来，因而不能实施别的测量方案. （二）师生互动，知识应用 1. 测量距离的问题. 例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
BAC=
，
ACB=
。求A、B两点的距离(精确到0.1m) 分析：所求的边AB的对角是已知的，又已知三角形的一边AC，根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB. 解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米 说明：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解. 师生一起总结：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法. 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
BCA=
，
ACD=
，
CDB=
，
BDA =
，在
ADC和
BDC中，应用正弦定理得 AC =
=
BC =
=
计算出AC和BC后，再在
ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。 2. 测量高度的问题 例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在
ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。 解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是
、
，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在
ACD中，根据正弦定理可得 AC =
AB = AE + h = AC
+ h =
+ h 例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
=54
，在塔底C处测得A处的俯角
=50
。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
分析：根据已知条件，应设法计算出AB或AC的长. 解:在
ABC中,
BCA=90
+
,
ABC =90
-
,
BAC=
-
,
BAD =
.根据正弦定理,
=
所以 AB =
=
解Rt
ABD中,得 BD =ABsin
BAD=
将测量数据代入上式,得 BD =
=
≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为150米. 思考：有没有别的办法测量并求出山的高度. 例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15
的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25
的方向上,仰角为8
,求此山的高度CD.
分析：要测出高CD，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件,可以求出BC的长. 解:在
ABC中,
A=15
,
C= 25
-15
=10
,根据正弦定理,
=
, BC =
=
≈ 7.4524(km) CD=BC
tan
DBC≈BC
tan8
≈1047(m) 答:山的高度约为1047米 3.测量角度的问题 例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32
的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1
,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角
ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角
CAB. 解：在
ABC中，
ABC=180
- 75
+ 32
=137
，根据余弦定理， AC=
=
≈113.15 根据正弦定理,
=
sin
CAB =
=
≈0.3255, 所以
CAB =19.0
, 75
-
CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.0
的方向航行,需要航行113.15n mile (三) 练习巩固 课堂练习：P13. 1,2 P15. 1,2 P16. 补充练习 1：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30
，灯塔B在观察站C南偏东60
，则A、B之间的距离为多少？ 2．若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
BCA=60
，
ACD=30
，
CDB=45
，
BDA =60，求A、B之间的距离. 3. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30
，测得塔基B的俯角为45
，则塔AB的高度为多少m？ 4. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2
，再继续前进10
m至D点，测得顶端A的仰角为4
，求
的大小和建筑物AE的高.
(四) 小结 解斜三角形实际应用问题的解题步骤： （五）作业 P19 A组．1，2，3，4，5，6，7 正弦定理和余弦定理的应用举例2—三角形面积问题 （1课时） 一、教学目标 1．知识与技能 掌握面积公式的由来及会用面积公式解决一些三角形问题. 2．过程与方法 经历两边夹一角的面积公式推导过程，并能利用面积公式解一些斜三角形. 3．情感、态度与价值观 面积公式的应用更体现了数学的应用价值，激发同学学习数学的积极性. 二、教学重点、难点 重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题. 三、教学方法 启发式，讨论式 四、教学过程 （一）创设情景，导入课题 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h
、h
、h
，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：h
=bsinC=csinB h
=csinA=asinC h
=asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S=
ah,应用以上求出的高的公式如h
=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=
absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=
bcsinA, S=
acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 （二）师生互动，知识应用 例1、在
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm
） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
;[来源: ] （2）已知B=62.7
,C=65.8
,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S=
acsinB，得 S=

14.8
23.5
sin148.5
≈90.9(cm
) (2)根据正弦定理，
=
c =
S =
bcsinA =
b

A = 180
-(B + C)= 180
-(62.7
+ 65.8
)=51.5
S =

3.16


≈4.0(cm
) (3)根据余弦定理的推论，得 cosB =
=
≈0.7697 sinB =
≈
≈0.6384 应用S=
acsinB，得 S ≈

41. 4
38.7
0.6384≈511.4(cm
) 例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm
）？[来源: ] 师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，[来源: ] cosB=
=
≈0.7532 sinB=
0.6578 应用S=
acsinB S ≈

68
127
0.6578≈2840.38(m
) 答：这个区域的面积是2840.38m
。 （三）练习巩固 练习P18. 1，2 补充练习：已知在
ABC中，
B=30
,b=6,c=6
,求a及
ABC的面积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=9
;a=12,S=18
(四) 小结 1.三角形的面积公式的推导 2.三角形面积公式的应用. （五）作业 习题P20. A组11，12.[来源:] 正弦定理和余弦定理的应用举例3—综合应用 （1课时） 一、教学目标 1．知识与技能 进一步掌握正弦定理和余弦定理及面积公式，更能熟练地解决相关地三角形问题. 2．过程与方法 经历一些探究和解决问题的过程. 3．情感、态度与价值观 培养同学克服困难解决三角形问题的能力. 二、教学重点、难点 重点：掌握正弦定理和余弦定理及面积公式 难点：解决综合性、应用性问题. 三、教学方法 启发式，讨论式 四、教学过程 （一）复习 基本定理公式复习 正弦定理、余弦定理的相关公式及其变式. 基本方法复习 正弦定理解决哪些问题 余弦定理解决哪些问题 面积公式有什么特点？ 其他三角形相关知识 （二）师生互动，知识应用 例1、在
ABC中，求证： （1）
（2）
+
+
=2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设
=
=
= k 显然 k
0，所以 左边=
=
=右边 （2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc
+ca
+ab
) =(b
+c
- a
)+(c
+a
-b
)+(a
+b
-c
) =a
+b
+c
=左边 例2 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比数列， 试证明：△ABC为正三角形. 分析：这是一个由等差等比概念的综合性问题，只要把等差等比关系转化为边角关系即可. 证明略.
 （三）课堂练习 练习1：判断满足下列条件的三角形形状， (1) acosA = bcosB (2) sinC =
书P18.3 (四) 小结 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” “边多用余弦，角多用正弦” （五）作业 习题P10. B组1，2 习题P20. A组14. B组2.

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