1.知识与技能
1)通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,
2)理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质;
2.过程与方法
通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法;
3.情感、态度与价值观
通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。
二、教学重点、难点
重点:用不等式(组)表示和研究实际问题的不等关系,不等式性质及其证明.
难点:用不等式(组)正确表示出不等关系.
三、教学方法
启发式,讲练结合
四、教学过程
(一)创设情景,导入课题
在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
(二)师生互动,建立不等关系
引例1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:
引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示
问题1:设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点,则。
问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?
解:设杂志社的定价为x?元,则销售的总收入为 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求,600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?
解:假设截得500 mm的钢管 x根,截得600mm的钢管y根。根据题意,应有如下的不等关系:
(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
(三)讲练结合,探究不等式性质
关于不等式的几个基本事实:
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质,
请同学们回忆初中不等式的的基本性质.
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变;
即若
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变;
即若
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。
即若
师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗?
证明:
1)∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c
2), .
实际上,我们还有,
证明:∵a>b,b>c,
∴a-b>0,b-c>0.
根据两个正数的和仍是正数,得
(a-b)+(b-c)>0,
即a-c>0,∴a>c.
于是,我们就得到了不等式的基本性质:
(1)如果a>b,那么bb (自反性)
(2) (传递性)
(3) (加法性质)[来源: ]
(4) , (乘法性质)
利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:
(5);
(6);
(7) 如果a>b>0, 那么an>bn(n(N,n(2); [来源:]
(8)。
证明:(5)(6)(7)略
(8)反证法证明 假设,
则:若这都与矛盾,
∴.
思考不等式的证明的一般方法:直接证法和间接证法
直接证法又分析法和综合法
间接证法又以反证法为主.
例1、已知求证 。
证明:以为,所以ab>0,。
于是 ,即
由c<0 ,得
例2. 已知a>0,b>0,求证:a3+b3≥a2b+ab2
证明一:比较法(作差)
(a3+b3)-(a2b+ab2) =(a3- a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)
=( a-b)2(a+b).
∵a>0,b>0,∴a+b>0,而( a-b)2≥0.
∴( a-b)2(a+b)≥0.
故(a3+b3)-(a2b+ab2)≥0,
即a3+b3≥a2b+ab2.
证明二:比较法(作商)
∵a2+b2≥2ab,
∴又a>0,b>0,所以ab>0,故a3+b3≥a2b+ab2.
证明三:分析法
欲证a3+b3≥a2b+ab2,
只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).
由于a>0,b>0,所以a+b>0,
故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。
即证明a2+b2≥2ab.
而a2+b2≥2ab 显然是成立的
所以 a3+b3≥a2b+ab2.
证明四:综合法
∵a2+b2≥2ab,∴a2+b2-ab≥ab.
又∵a>0,b>0,∴a+b>0,
故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).
即a3+b3≥a2b+ab2.
课本P74的练习1,2,3
(四)小结
1.不等关系的建立
2.不等式性质及其证明
不等式的证明方法.
(五)作业[来源: ]
课本P75 习题3.1 A组 1,3 B组2
3.1不等关系与不等式
第2课时
一、教学目标
1.知识与技能:
1)掌握利用不等式性质进行代数式的大小比较;
2)会根据不等式(组)表达实际应用问题.
2.过程与方法:
掌握作差或作商比较代数式的大小的方法,经历解决实际问题的过程.
3.情感、态度与价值观:
通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯.
二、教学重点、难点
重点:掌握比较两个代数式的大小的方法并能解决实际问题
难点:应用不等式(组)的实际应用
三、教学方法
启发式,讲练结合
四、教学过程
(一)创设情景,导入课题
我们知道实数可以比较大小,事实上,实数与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
关于实数a、b大小可以比较,那么代数式的大小也可以比较,本节主要讨论代数式的大小比较.
(二)师生互动,比较大小
例3. 比较和大小.
解:作差比较
-=-
=
当x=0时,= ;
当x(0时, -x2<0, <.
例4.已知,比较与的大小.
师生讨论比较大小的方法:作差法和作商法.
(三)讲练结合,建立不等关系
例5.某夏令营有48人,出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶.若只选A型号的,每顶帐篷住4人,则帐篷不够;每顶帐篷住5人,则有一定帐篷没有住满.若只选B型号的,每顶帐篷住3人,则帐篷不够;每顶帐篷住4人,则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶,用不等式将题目中的不等关系表示出来.
解:设A型号帐篷有x个,则B型号帐篷有(x+5)个,则有如下不等关系:
练习:旅行社为了吸引更多的游客加入, 各自推出了独特的营销策略,实行团体优惠是司空见惯的.甲、乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是: 甲旅行社称凡全家旅游,其中一人交全费的,其余的人可享受半价优惠;乙旅行社称全家旅游,所有人均按原价的六折优惠.若甲、乙两家旅行社原价相同,问:
1.一个三口之家应选择哪家旅行社为好?
2.现有两个三口之家准备结伴旅游,可以分别登记, 也可以一个家庭为单位合并登记,应如何选择?
3. 试就家庭成员的多少分析哪家旅行社更优惠?
(四)小结
1、比较代数式大小的方法;
2、不等式(组)的简单的应用实例.
(五)作业
课本P75 习题3.1 A组2,4,5,B组1,3
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