一、教学目标[来源:
1．知识与技能
掌握二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法
经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
3．情感、态度与价值观
体会数学来源与生活实践，可以解决实际问题，提高数学学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：掌握二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式（组）表示平面区域.
难点：会用二元一次不等式（组）表示平面区域.
三、教学方法
启发式，讲练结合
四、教学过程
（一）创设情景，导入课题
在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们，前面我们学习了二元一次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型.
教师让同学先看一个实际例子.
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？
这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？
（二）师生互动，探究新知
1. 二元一次不等式（组）应用问题的数学建模.
教师引导同学一起思考、讨论从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型.
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元.
（资金总数为25 000 000元） （1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）
即 （2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形.
教师用PPt展示在平面直角坐标系内直线x-y=6，师生共同讨论平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.
设点p(x,) 是直线x-y=6上的点，选取点A(x,)，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第83页的表格，
横坐标x
-3
-2
-1
0
1
2
3
点P的纵坐标
点A的纵坐标
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方点的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？[来源: ]
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6.
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图.
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图.
直线叫做这两个区域的边界
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
（三）概念辨析，应用举例
例1 画出不等式表示的平面区域.
解：先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当时，常把原点作为此特殊点.
例2 用平面区域表示.不等式组的解集.
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：不等式表示直线左下方的区域，表示直线左上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3[来源: .Com]
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.
师生讨论一起建立模型.
教师用PPT展示一般地解题过程模式.
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）.
课堂练习P86 1，2，3，4
补充练习: 画出不等式组表示的平面区域.
（四）小结
1.二元一次不等式表示的平面区域．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
2.从实际问题抽象出二元一次不等式（组）并画出所表示平面区域．
(五)作业
课本P80 习题3.2 A组3，4,5 B组3,4
3.3.2简单的线性规划问题
一、教学目标
1．知识与技能
1) 了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2)了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
2．过程与方法
经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情感、态度与价值观
体会数学来源与生活实践，可以解决实际问题，提高数学学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：了解线性规划的意义，掌握线性规划的图解法;
难点：准确求得线性规划问题的最优解,线性规划的应用问题解决.
三、教学方法
启发式，讲练结合
四、教学过程
（一）创设情景，导入课题
[复习提问]
1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵.
（二）师生互动，探究新知
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
…………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排.
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：[来源: .Com]
当x,y满足不等式组（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线.当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值.因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大.
（5）获得结果：
由上图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组(1)是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的一次解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
变换条件，加深理解
探究：课本第100页的探究活动
(1) 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试.
有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
（三）概念辨析，应用举例
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用
例5.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
分析:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
例6.在上一节例3中，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用的钢板张数最少？
师生讨论，学生动手探讨结果.
结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
例7.在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
教师在学生得到结论的基础上，用多媒体展示答案.
课堂练习 P91. 1，2
（四）小结
线性规划问题的解题步骤：
1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解;
3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
(五)作业
课本P93 习题3.3 A组1，2，3，4 B组1，2，3,4
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