1．知识与技能
1）掌握基本不等式及其推导，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;
2）能用基本不等式证明一些简单的不等式.
2．过程与方法
经历从实际情境中抽象出基本不等式的过程，提高数学建模的能力；
3．情感、态度与价值观
体会数学来源与生活实践，可以解决实际问题，感受数学公式的抽象美.
二、教学重点、难点
重点：探究并掌握基本不等式的推导过程和几何意义；
难点：掌握基本不等式等号成立条件.
三、教学方法
启发式，讲练结合
四、教学过程
（一）创设情景，导入课题
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.
（二）师生互动，探究新知
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a,b ,那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：
.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有.
2．得到结论：
一般的，如果
思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．基本不等式的产生.
特别的，如果a>0,b>0,对于，我们用分别、代替a、b ，可得
.
通常我们把上式写作：
1）指导同学自己完成这个基本不等式的代数证明
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） 0 （4）
显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
5. 基本不等式的几何意义
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
师生共同讨论：
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
6. 基本不等式的其它解释或描述
1）如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2）在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（三）概念辨析，应用举例
例1. 求证
证明：
当且仅当a= 即a=1时，等号成立.
当且仅当 即a=b时，等号成立.
说明：用基本不等式证明要关注等号成立的条件.
例2 已知x、y都是正数，求证：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数 x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
x＋y≥2＞0 ； x2＋y2≥2＞0 ； x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.[来源: ]
课堂练习：
证明：由a<0,b<0，得 -a>0,-b>0
当且仅当-a=-b即a=b时等号成立.
2.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2＞0；b＋c≥2＞0； c＋a≥2＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc[来源:]
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
（四）小结
1. 两个基本不等式的推导及意义
1）a2＋b2≥2ab；
2）≥（均值不等式）
2. 利用基本不等式证明一些简单的不等式.
(五)作业
P100 习题3.4 A组1,2
3.4基本不等式：
第2课时
一、教学目标
1．知识与技能
1）会应用基本不等式求某些函数的最值；
2）能够解决一些简单的实际问题.
2．过程与方法
通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.[来源: ]
3．情感、态度与价值观
体会数学来源与生活实践，可以解决实际问题，感受数学公式的抽象美.
二、教学重点、难点
重点：基本不等式的应用；
难点：利用基本不等式求最大值、最小值.
三、教学方法
启发式，讲练结合
四、教学过程
（一）复习旧知，导入新课
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a, b是正数，那么
3. 两个不等式的区别
成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数.
（二）师生互动，应用举例
例3（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m.由，
可得 ， . 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.[来源: ]
（2）设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m.
由，可得
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m
归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为元，根据题意，得
当[来源:]
因此，当水池的底面边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数值；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
例5 (1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
分析：本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解（1) 因为 x>0 由基本不等式得
当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
（三）课堂练习
1. 若，则为何值时有最小值，最小值为多少？
2. 求(x>5)的最小值.
3. 若x>0,y>0,且,求xy的最小值.
课本P100练习1，2，3
（四）小结
1. 已知两个正数x，y，求和的最值.
(1) 为定值p，那么当x＝y时，有最小值 ；
(2) 为定值s，那么当x＝y时，积有最大值.
2. 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”
3. 利用基本不等式求函数最值的步骤
(五)作业
习题P100-101．Ａ组，3,4Ｂ组1,2
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