§2.5.1 离散型随机变量的均值
教学目标
1．了解离散型随机变量的期望的意义，
2．会根据离散型随机变量的分布列求出期望．
3．能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题．
教学重点：离散型随机变量的期望的概念．
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望．
教学过程
一、自学导航
1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．
2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？
3．学生活动
⑴直接比较两个人生产件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．
⑵学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？
⑶引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．
①如果有n个数x1,x2,… ,xn,那么
②如果n个数中x1,x2 … xk分别出现f1,f2 … ,fk次（f1+ f2+… + fk=n）则
③某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
④某射手射击的环数ξ的分布列为:
则他射击n次,射击环数的平均值为 ．
那么，再回到前面的情境问题中来，如何来比较两工人的技术呢？
二、探究新知
1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式计算样本的平均值，其中为取值为的频率值．
类似地，若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：
X
…
P
…
其中，，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．性质
（1）；（2）．（为常数）
三、例题精讲
例1 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的数学期望．
分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取个产品，随机变量为5个球中的红球的个数，则服从超几何分布．
解：由2．2节例1可知，随机变量的概率分布如表所示：
X
0
1
2
3
4
5
P
从而
答：的数学期望约为．
说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到．
例2 从批量较大的成品中随机取出件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为
，随机变量表示这件产品中不合格品数，求随机变量的数学期望．
解：由于批量较大，可以认为随机变量，，随机变量的概率分布如表所示：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
故 即抽件产品出现不合格品的平均件数为件．
说明：例2中随机变量服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：
当 时，．
例3 设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．
分析：先由题意求出分布列，然后求期望
解：（1）事件“”表示，胜场或胜场（即负场或负场），
且两两互斥．；
（2）事件“”表示，在第5场中取胜且前场中胜3场，或在第5场中取胜且前场中胜3场（即第5场负且场中负了3场），且这两者又是互斥的，所以
（3）类似地，事件“”、 “”的概率分别为
，
比赛场数的分布列为
4
5
6
7
故比赛的期望为（场）
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．[来
四、课堂精练
1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望．
2．据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案1 运走设备，此时需花费元；
方案2 建一保护围墙，需花费元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为元；
方案3 不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失元，小洪水来临损失元．
试选择适当的标准，对种方案进行比较．
五、回顾小结
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；
3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．
二项分布：若X~H(n,M,N) 则E(X)＝
超几何分布：若X~B(n,p) 则E(X)＝np
X
0
1
P
1－ p
p
另：如果随机变量X服从两点分布，
则E(X)＝p （E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p）
六、拓展延伸
七、课后作业课本， 第1题
八、教学后记
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