课题：3.2立体几何中的向量方法（空间距离） 第 课时 总序第 个教案  课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日  教学目标：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 批 注  教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用。   教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用   教学用具： 三角板   教学方法： 探究   教学过程： 利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． 例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离． 分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离． 解：如图，设
4i，
4j，
2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． ∴　
，
， 　　　　
，
，
． 设
平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得

， ∴　
＝(2a+4b,－2b－4c,2c)． 由
平面EFG，得
，
，于是 　　
，
． ∴　
整理得：
，解得
． ∴　
＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝
． ∴　
故点B到平面EFG的距离为
． 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了． 例2已知正方体ABCD－
的棱长为1，求直线
与AC的距离． 分析：设异面直线
、AC的公垂线是直线l，则线段
在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解． 解：如图，设
i，
j，
k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系
－xyz，则有
，
，
，
． ∴　
，
，
． 设n
是直线l方向上的单位向量，则
． ∵　n
，n
， ∴　
，解得
或
． 取n
，则向量
在直线l上的投影为 　　　n·

·

． 由两个向量的数量积的几何意义知，直线
与AC的距离为
．   教学后记：    .精品资料。欢迎使用。 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

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