课题：第三章小结与复习（1） 第 课时 总序第 个教案
课型： 复习课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
掌握空间向量及其运算；会运用向量的方法解决立体几何问题。
批 注
教学重点：会运用向量的方法解决立体几何问题。
教学难点：会运用向量的方法解决立体几何问题。
教学用具： 多媒体
教学方法： 讲练结合法
教学过程：
1．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb；
③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ①不正确，由|a|－|b|＝|a＋b|知a与b反向，a与b共线，但a与b共线不一定有|a|－|b|＝|a＋b|；②不正确，应加上条件b≠0；③不正确，当b＝0时，a与c不一定相等；④正确；⑤不正确，应为|(a·b)·c|≤|a|·|b|·|c|.
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 ＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以、共线，所以A、B、D共线，故选A.
3．已知a与b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由已知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0
∴a2＝2ab＝b2
∴cos〈a，b〉＝＝＝
∴〈a，b〉＝，∴选B
4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)，且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为( )
A.，－，－1 B.，，1
C．－，，1 D.，－，1
答案 A
解析 d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3＝e1＋2e2＋3e3，空间任一向量都可以用一个空间基底惟一表示，从而得到解得x＝，y＝－，z＝－1.
5．若向量a＝(1，x,2)，b＝(2，－1,2)，且a，b夹角的余弦值为，则x等于( )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
答案 C
解析 cos〈a，b〉＝＝＝，
解得x＝－2或x＝.
6．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
答案
解析 因为|a|＝|b|，所以平行四边形为菱形，
又a＋b＝(4,1,3)，a－b＝(0，－3,1)，
|a＋b|＝，|a－b|＝，
S＝|a＋b||a－b|＝××＝.
7．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
答案 ,
解析, 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则·=（+）·（+）
= 0 +·+· +0
= 4×1×cos120°+ 1×4×cos120°= 4,
BF＝DE＝＝，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cosθ＝＝.
8．如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E为PC的中点．
(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值．
(2)求点D到平面PAB的距离．
解 如图取DC的中点O，连结PO，
∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC
又∵面PDC⊥面ABCD
∴PO⊥面ABCD
∴以O为坐标原点OC、OP所在直线为y轴，z轴建立如图所示直角坐标系，
则P(0,0，a)，A(a，,0)，B(a，,0)，C(0，,0)，
D(0，,0)．
(1)∵E为PC的中点，∴E(0，，)
∴＝(0，a，a)，＝(a，－，－a)，
·＝a×(－)＋a×(－a)＝－a2，
||＝a，||＝a，
cos〈，〉＝,
∴异面直线PA与DE所成角的余弦值为.
(2)由(1)知＝(a，－，－a)，
＝(0，a,0)，
＝(0，a,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
n⊥，n⊥＝(0，a,0)，
∴n·＝xa－y－az＝0①
n·＝ya＝0②
由②得y＝0，代入①得xa－az＝0
令x＝，则z＝2，∴n＝(，0,2)．
则D到平面PAB的距离d等于在 n 上射影的绝对值.
＝＝a，
即点D到平面PAB的距离等于a.
9．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
解 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)
C(1,1,0)，D(0，,0)，S(0,0,1)，
＝(0,0，－1)， ＝(－1,0，－1)，
＝(－1,1，－1)， ＝(0，，－1)
设平面SAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)
平面SCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)
平面SAB与平面SCD所成的角为θ
由n1·＝0与n1·＝0
可得n1＝(0,1,0)
由n2·＝0与n2·＝0
可得n2＝(1,2,1)
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝
∴cosθ＝，sinθ＝
∴tanθ＝
即面SCD平面SAB所成的二面角的正切值为.
教学后记：
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