课题：第三章小结与复习（2） 第 课时 总序第 个教案
课型： 复习课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
掌握空间向量及其运算；会运用向量的方法解决立体几何问题。
批 注
教学重点：会运用向量的方法解决立体几何问题。
教学难点：会运用向量的方法解决立体几何问题。
教学用具： 多媒体
教学方法： 讲练结合法
教学过程：
知识点一 证明平行、垂直关系
已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在DB、D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长．
求证：EF∥平面BB1C1C.
证明
如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则
E，F，
故＝，
又＝(0，a,0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝ (0，a,0)·＝0，
∴⊥.
又E?平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明 如图，建立空间直角坐标系D—xyz.
设正方体棱长为1，
则E(1,1，)、D1(0,0,1)、
F(0，,0)、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝(1,1，)，
＝，＝(0，，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
由?.
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由
令z2＝1，
得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
知识点二 求空间角
已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解 以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)
∴＝(0,1,0)，
＝＝
∴cos〈，〉=
＝＝－.
∵异面直线DC与BC1所成的角为锐角，
∴异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为.
如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
（1）求cos〈,〉;
(2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．
解
(1)建立空间直角坐标系(如图所示)．
∵＝(5,2,4)，
＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，∴⊥平面AMN，
∴＝(0,8，－4)．是平面ANM的一个法向量．
又＝ (0,8,0)，||＝4，
·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD与平面AMN所成角θ＝－〈，〉，
∴sinθ＝.
(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)．
平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，
∴cos〈，a〉＝＝－.
∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值是.
知识点三 求空间距离
如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，点E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G，求点D1到平面B1EF的距离d.
解 如图建立空间直角坐标系D-xyz，易得D1(0,0,4)，B1(，
,4)，
E(，,0)，F(, ,0)，
故＝(－，，0)，＝(2，2，0)．
设n＝(x，y，z)是平面B1EF的一个法向量，则
?.
令x＝1，得n＝(1,1，－)．
则|·n| = ,
∴d =
∴点D1到平面B1EF的距离为
∴点D1到平面B1EF的距离为.
已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求点C1到平面A1AB的距离；
(3)求二面角A－A1B－C的余弦值．
(1)证明 如图，取AB的中点E，则DE∥BC，
因为BC⊥AC，
所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，
以DE，DC，D A1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，
C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，
＝(0,3，t)，1＝(－2，－1，t)，
＝(2,0,0)，由·＝0，知A1C⊥CB，又BA1⊥AC1，
从而AC1⊥平面A1BC；
(2)解 由·＝－3＋t2＝0，得t＝.
设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0,1，)，＝(2,2,0)，
所以，
设z＝1，则n＝(，－，1)
所以点C1到平面A1AB的距离d＝= ,
(3)解 再设平面A1BC的法向量为m＝(x，y，z)，
＝(0，－1，)，＝ (2,0,0)，
所以
设z＝1，则m＝(0，，1)，
故cos〈m，n〉＝＝－，根据法向量的方向，
可知二面角A－A1B－C的余弦值－.
教学后记：
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