不等式的解法举例、含有绝对值的不等式 [本讲主要内容] 1.在熟练掌握一元一次不等式(组).一元二次不等式的解法的基础上,初步掌握简单一元高次不等式、分式不等式、含绝对值不等式和根式不等式解法，熟练且准确地解答有关问题. 2.理解绝对值不等式的含义,掌握绝对值不等式的定理和推论,会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题. [学习指导] 1.知识结构 2.不等式的解题思路. (1)简单一元高次不等式,分式不等式常用数轴标根法或转化为整式不等式组. (2)根式不等式可等价转化为有理不等式组,主要有以下几种形式. (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) (3)含绝对值不等式常用分段讨论法、平方法和绝对值不等式的性质. 3.注意:. [例题精讲] 例1:解不等式 (1) (2) (3) [分析与解答]:这3问都是一元高次不等式,但又各有各的特点.其中第(1)题中,故只需即可,因此在标根时不应将2标在数轴上；第(2)题中其中有一个二次三项式,二项式系数为,在使用数轴标根法之前应先在不等式两边同乘以,使其二项式系数化为1.此外应将二次三项式分解因式,转化为第(1)题的形式,它同样会出现这样一个因式,可采取和第(1)题一样的方法；第(3)题分解因式后将出现因式,是一个恒大于零的因式,可在不等式两边将此因式除掉. [解](1)用数轴标根法,将标在数轴上： 如图不等式的解集为. (2)原不等式可变形为: . 用数轴标根法,将,3,1标在数轴上: 如图不等式的解集为 (3)原不等式可变形为: . 用数轴标根法,将标在数轴上 如图不等式的解集为 例2.解不等式 (1) (2) [分析与解答]本例的2题都是解分式不等式,应注意它们的不同点.其中第(1)题仍可采用数轴标根法,主要注意分母不能为零；第(2)题不等式的右边为1,不能直接用数轴标根法,更不可去分母,应把1移到不等式左边,通分转化为第(1)题的形式再继续求解. [解](1)原不等式可转化为: 利用数轴标根法,将标在数轴上. 如图原不等式的解集为 [注]变形后的不等式分子、分母中均有这个因式,千万不可在此约分,而应向高次不等式一样把它们看作来处理. (2)原不等式变形为: 即 等价变形为 即 运用数轴标根法,将6,2,3,4,四个根标在数轴上. 如图,原不等式解集为 例3.解不等式 (1) (2) [分析与解答]本例2道题均是解绝对值不等式,而且同有两个绝对值号,但通过仔细观察,我们所选取的方法应当是不同的,第(1)题可采用平方法,第(2)题应采用分段讨论法. [解](1)不等式两边平方得 即 ∴ ∴原不等式的解集为 (2)(ⅰ)当 原不等式为: 解得:. ∴不等式的解集为. (ⅱ)当时, 原不等式为: ∴不等式的解集为 (ⅲ)当时 原不等式为: ∴不等式的解集为 综上所述,原不等式的解集为:. 例4.解不等式: [分析与解答]本例是典型的无理不等式,即,应等价于 [解]原不等式等价于: ∴原不等式的解集为 例5.解关于的不等式 [分析与解答]本例是简单的对数不等式.虽然教材中没有这样的例题,但解简单的对数、指数不等式是高考的要求,这类题目在高考中不止一次出现过.解这类题的简单思路是:把不等式两边化成同底后,由指数函数与对数函数的单调性,把它转化为普通代数不等式或不等式组来解,在确定单调性时必须对底进行讨论. [解]当时,原不等式等价于:由此得  ∴ ∴ 当时,原不等式等价于: 由(1)得, 由(2)得, ∴ 综上,当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 [基础性训练题] 一.选择题 1.下列各组不等式中同解的是( ) (A) (B) (C) (D) 2.满足不等式的最小整数等于( ) (A)5 (B)24 (C)25 (D)99 3.不等式的解集是( ) (A) (B)(6,18) (C)(7,20) (D)(8,22) 4.函数的定义域是( ) (A) (B) (C) (D) 5.不等式的解集是( ) (A) (B) (C) (D) 6.不等式组的解集是( ) (A) (B) (C) (D) (97年高考试题) 二.解答题 7.解不等式 8.解不等式 9.解不等式 10.解不等式 [提高性训练题] 一.填空题 1.不等式成立的充要条件是 . 2.不等式的解集为 ,的解集为 . 3.不等式的解集为 . 4.不等式的解集为 . 5.不等式的解集是 . (91年高考试题) 6.不等式的解集是 . (91年高考试题) 二.解答题 7.已知. 8.设,解关于的不等式.. 9.若不等式对一切恒成立,求实数的范围. 10.已知,解关于的不等式: [研究探讨题] 设函数 解不等式 求的取值范围,使函数在区间上是单调函数. (2000年高考试题) [基础性训练题点拨与解答] 一．选择题 1.答案: (A) [解]用排除法当成立,故(B)不正确. 另成立,故(C)不正确. 当成立,故(D)不正确. 综上所述选(A) 2.答案: (C) [解]原不等式化为即,故选(C) 3.答案: (B) [解]原不等式化为即 两边平方得.即故选(B). 4.答案: (B) [解]由题意 得 ∴.故选(B) 5.答案: (B) [解]由 ∴ 又 ∴当时,原不等式化为: 当时,原不等式化为:.此不等式显然成立. ∴≤2 综上可知:原不等式解集为,故选(B). 6.答案: (C) [解] ∴ 将两边平方,原不等式组等价于  ①  由①得 ②  ∴②的解为.故选(C) 二.解答题 7.[解]原不等式变形为   ∴原不等式转化为 利用数轴标根法 ∴不等式的解集为 8.[解]原不等式可化为 等价于 用数轴标根法 ∴原不等式的解集为 9.[解]应分三种情况讨论. 即 解得 ∴原不等式的解集为. 10.[解]原不等式等价于(Ⅰ)或 (Ⅱ) 解(Ⅰ)得 ∴ 解(Ⅱ)得 ∴解集为 ∴原不等式的解集为 [提高性训练题的点拨和解答] 一.填空题 1.答案:. [解]充分性 又 ∴ 必要性: ∴|a+b|>0 ∴ 2.答案: [解]两边平方得 即 ∴ 解得 ∴不等式的解集为 两边平方得  即 又 综上所述 3.答案: [解]原不等式等价于 解得 4.答案: [解]由 解得 当不等式成立. 而当时原不等式 ∴原不等式的解集为 5.答案: [解]原不等式可化为 ∵以6为底的指数函数是增函数. ∴ ∴原不等式的解集为 6.答案: [解]原不等式等价于  ①  ②  ∴原不等式的解集为 二.解答题 7.[证]要证成立 只需证: 即证:成立. 由 所以只需证 即成立 即证明成立  ∴成立 ∴命题得证 8.[解]原不等式转化为, 当时,指数函数是减函数. ∴ 即 解得 当时,指数函数是增函数. ∴ 即 解得. ∴综上所述,当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为 9.[解]: ∴只须恒成立即可. ①当时,恒成立. ②当时,则必须 由①②可知. 10.[解]原不等式等价于  ∴ ∴  [研究探讨题点拨与解答] 本题是2000年高考试题,主要考查不等式的解法,函数的单调性等基础知识,其中不等式是一个含参数的不等式,自然增加了解题的难点,像此例这样的综合性题目是近年来高考的一个热点. 例(1)不等式即 由此得 即 ∴原不等式等价于 ∴当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 (2)在区间上任取    (ⅰ)当时,  又 ∴ ∴当上是单调减函数. (ⅱ)当时,在区间上存在两点;满足. ∴函数上不是单调函数. 综上,当且仅当上的单调函数. 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u
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