两条直线的位置关系 [本讲主要内容] 两条直线平行的条件： (1).两条直线都无斜率且不重合，则这两条直线直线平行. (2).两条直线都有斜率且不重合，如果它们平行则斜率相等；反之，如果 它们的斜率相等则它们平行，即： l1║l2?k1=k2 2. 两条直线垂直的条件： (1).一条直线没有斜率，另一条直线斜率为0，则这两条直线垂直. (2).两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数， 反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即： l1⊥l2?k1=- 或l1⊥l2?k1k2=-1 3. 直线l1到l2的角，指的是直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合 时转的角，它的范围是(0,) 4. 直线l1与l2的夹角，指的是直线l1与l2相交，形成的直线到直线的角 中，不大于直角的角又称为l1和l2所成的角，它的范围是(0,]. 5. 设两条直线l1,l2的斜率为k1,k2,θ1为l1到l2的角，θ为l1与l2的夹 角，则有下列公式： (1) l1到l2的角公式为： tanθ1= (1+k1k2≠0) (2) l1与l2的夹角公式： tanθ1=|| (1+k1k2≠0) 6．对于由两条直线l1与l2的方程组成的方程组 若以上方程组有唯一的解，则两直线l1,l2为相交，且方程组的解 为交点的坐标. (2) 若方程组无解，则两直线平行. (3) 若方程组有无穷多解，则两直线重合，以上条件反之也对. 7．设两直线l1：A1x+B1y+C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0, 且A1 B1 A2 B2全不为零，则两直线l1,l2相交、平行、重合的条件分别是： 若 则l1,l2相交 (2) 若  则l1,l2平行 (3)若  或  且C1=C2=0 时，则两直线重合. [学习指导] 1.研究两条直线平行、垂直的方法有两种：① 从研究特点出发，即 ②从数量关系出发，即 设l1：A1x+B1y+C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0,(B1·B2≠0) 2.l1到l2的角，表明这个角有方向性, l1与l2的夹角是没有方向性的. 3.使用两条平行直线的距离公式时，要注意这个公式只有只有当两条直线方程中x,y项系数对应相等时，才能使用，否则要进行调整.例如：l1: 3x-y+1=0 l2: 6x-2y+5=0l1: 6x-2y+2=0 l2: 6x-2y+5=0d= 4.注意轴对称的问题，若A,B两点关于直线l成轴对称，应善于把轴对称的几何性质：(1)AB⊥l,(2)l平分线段AB，转化为代数条件：(1)kAB·kl=-1,(2)AB中点坐标满足l方程. [例题精讲] 例1．已知两条直线l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:2mx+4y+16=0 当m为何值时，l1与l2(1) l1⊥l2 (2)l1║l2 (3)l1,l2重合. [分析及解] 此题易想到(1)k1k2=-1 (2)k1=k2 即运用直线的斜截式y=kx+b, 这时要注意此式不包含无斜率的直线.所以，在讨论k1,k2时应在k1,k2存在的前提下，即， 当1+m≠0,即m≠-1时. 直线l1的斜率k1=-,l2的斜率 k2=-. ∴当k1k2= -1即即m=-时，l1⊥l2；当k1=k2 即-，即m=1或m=-2,其中m=1时，l1:x+2y-1=0,l2:2x+4y+16=0平行.当m=-2时，l1:x-y-4=0,l2:4x+4y+16=0重合 特别地，当m=-1时，l1 ：x=3 l2： x-2y-8=0 此时l1与l2斜交. 综上所知，当m=时,l1⊥l2；当m=1时，l1∥l2；当m=-2时，l1,l2重合. 例2.求经过点p(2,3)且被两条平行直线3x+4y-7=0和3x+4y+8=0截得线段长为的直线方程. [分析及解] 本题所求直线过点p(2,3), 可考虑设直线方程为y-3=k(x-2), 即 kx-y+(3-2k)=0 易求两平行线间距离d=, 由已知所求直线被两直线截得线段长为，设求得所求直线与两平行直线间夹角为θ,则sinθ=,∴θ= ∴tanθ= 解得k=或-7. 所以所求直线方程为x2-7y+19=0或7x+y-17=0. 此题利用解直角三角形，将问题转化为两直线的夹角问题，避免了复杂运算，但要注意无斜率的直线，即x=3是否符合题意，当x=3时，直线与两平行直线的交点分别为A(3,),B(3,-)..所以，直线x=3非所求. 例3.(1)求直线l1：x+2y-5=0关于点p(-3,2)的对称直线l2的方程；(2)求点p(2,3)关于直线l：2x-y-4=0的对称点θ. (3)求直线l1：x+7y-6=0关于直线l：x+y-2=0的对称直线l2的方程. [分析及解] 对称问题主要有两类：点对称和轴对称.(1)若两点A,B关于点p对称，则p是线段的中点；若两个图形C1,C2关于点p对称，则C1上任一点关于点p的对称点必在C2上，反过来，C2上任一点关于点p的对称点也必在C1上. 设M(x,y)为直线l2上任一点，且M点关于点p的对称点为N(x0,y0), 则根据中点坐标公式有，即 又因为N点在直线l1上 故-6-x+2(4-y)-5=0 即x+2y+3=0 (2)若两点A,B关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线；若两个图形C1,C2关于直线对称，则C1上任一点关于l的对称点必在C2上，反过来，C2上任一点关于l的对称点也必在C1上. 设Q(a,b),因为直线l为线段PQ的垂直平分线，故有 解得a=,b= ∴Q(,) (3)在求一已知曲线关于点或直线对称曲线的方程时，常常采用坐标转移法. 设p(x,y)为直线l2上的任一点，且p点关于直线l的对称点为Q(x0,y0),因为直线l是线段PQ的垂直平分线. ∴ 解得  又∵Q(x0,y0)在直线l1上 ∴有(2-y)+7(2-x)-6=0, 即7x+y-10=0. (二)网上能力训练题 [能力训练部分] A 基础性训练题 1.两条直线3x+2y+m=0和(m2+1)x-3y+2-3m=0的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 与m无关 2.在同一坐标系中两条直线，l1:y=mx+n,l2:y=nx+m,那么正确的图形只能是( ) 3.若直线l1,l2的斜率分别是方程6x2+x-1=0的两根，则l1与l2的夹角( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4.若直线y=kx+2k+1与直线交点位于第一象限，k的取值范围是( ) A. (-6,2) B. (,0) C. (,) D. (,+∞) 5.若方程6xy+4x-9y-6=0表示两条直线,则这两条直线夹角为( ) A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 6.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-2=0对称的曲线的方程是( ) A. f(y+2,x)=0 B. f(x-2,y)=0 C. f(y+2,x-2)=0 D. f(y-2,x+2)=0 7.已知方形ABCD的相对顶点坐标是B(0,-1),D(2,5),求A,C的坐标. 8.求与直线3x+4y-12=0垂直,并且与坐标轴截得三角形的周长是24的直线l的方程. 9.已知△ABC的顶点A(-4,-1),B(5,-3),内角C的平分线所在的直线方程是 x-y-1=0,求AC边所求的直线方程. 10.为何值时,下面三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形. B.提高性训练题 1.已知点p(-3,-5),则点p到x轴的距离是 ,到y轴距离是 ,到直线x=5的的距离是 ,到直线y+8=0的的距离是 , 到直线3x-y+2=0的的距离是 . 2.过直线l1:2x+3y-5=0与直线l2:3x-2y-3=0的交点p且平行于直线2x+y-3=0的直线的方程是 . 3.过点(3,5)的直线中距原点最远的直线方程是 . 4.直线l1:2x-5y+20=0,l2:mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数m的值等于 . 5.过点A(1,)且与直线成角的直线的方程是 . 6.若两点o(0,0),A(4,-1)到直线mx+m2y+6=0的距离相等,则m= . 7.三角形三个顶点为A(2,8),B(-4,0),C(6,0),求过点B将△ABC面积平分的直线方程. 8.若直线y=xlg(ac)+m和y= xlg(bc)+n互相垂直,(a,b,c>0),求的取值范围. 9.将直线l绕它上面一点p按逆时针方向旋转（0°90°）后，所得直线方程为6x+y-60=0.若在同向旋转90°-后，所得直线方程是x+y=0,求直线l的方程. 10.光线沿着直线l1:x-2y+5=0射入,遇到直线l2:3x-2y+7=0反射,求反射光线所在直线l的方程. C研究性训练题 在直角坐标系中，一运动物体经过点(0,9),其轨迹方程为y=ax2+c(a<0),D=(6,7)在x轴上的给定范围. (1)为使物体落入D内，求a的取值范围. (2)若物体运动时又经过点p(2,8.1),问它能否落入D内,说明理由. 解:(1)因为物体运动的轨迹是抛物线,又抛物线过点A(0,9),代入y=ax2+c得c=9.即有y= ax2+9∵a<0抛物线开口向下由D=(6,7)为x轴上给定的区间，可求得的取值范围. 当x=6时,a=,当x=7时,a=. ∴在区间D=(6,7)内,. (2)若物体经过点p(2,8.1)，将其代入抛物线方程,可得a=. ∵ ∴a的值在取值范围内. 所以物体能落在D内. [能力训练题点拨与解答] A. 1.B ∵直线3x+2y+m=0的斜率k1=,直线(m2+1)x-3y+2-3m=0的斜率 ∴k1<0,k2>0 ∴k1≠k2 ∴两条直线相交. 2.C 图A中l1的斜率m>0,m是l2在y轴上截距, m<0,∴不可能. 图B中l1在y轴上截距n>0,n是l2的斜率,n<0,∴不可能. 图B中l1在y轴上截距n>0,n是l2的斜率，n<0，∴不可能 图D中l1的斜率m=0,l2在y轴上截距m>0∴不可能. ∴只能是C中l1的斜率m<0,l2在y轴上截距m<0,l2的斜率n<0,l1在y轴上截距n>0. 3.C 设两直线的斜率分别是k1,k2 ∵k1,k2是方程6x2+x-1=0的两根 ∴k1+k2=, k1k2= ∴(k1-k2)2=== ∴ ∴ ∵θ∈(0°,90°] ∴θ=45° 4.C 设两直线的交点M(x0,y0),则x00,y00,并且有 ∴ ∴0 且0 ∴k 且 ∴ 即 5. D ∵+4x-9y-6=0 ∴2x(3y+2)-3(3y+2)=0 ∴方程表示两条直线  显然l1⊥l2,即l1,l2夹角是90°. 6. C 设M(x,y)为所求曲线上任一点,则它关于直线x-y-2=0的对称点M’(x0,y0)在已知曲线f(x,y)=0上,即f(x0,y0)=0 ∵M,M’关于直线l:x-y-z=0对称 ∴MM’⊥ l且MM’中点在l上 ∴ 得  ∴ 即为 ∴所求曲线方程为 7.设E为BD中点，则E(1,2)   ∴. 设A或C点坐标为 由,得 或. ∴A(4,1),C(-2,3)或A(-2,3),C(4,1). 8.∵l垂直于直线 ∴可设  令x=0,y=0得到l在y轴，x轴上的截距分别是 ∵截得的三角形周长是24 ∴ ∴ ∴ ∴所求直线方程为或 9.设点B关于角C的平分线所在直线对称点为E（x,y） 则 ∴ ∴E(-2,4) 根据三角形平分线的对称性,则点E必在直线AC上,又∵A（-4，-1） ∴lAC： ∴直线AC的方程为  10.(1)由方程组得 l1与l2的交点Q(), 要使Q点在l3上,只需Q点坐标满足l3的方程,得 或 ∴或时,三直线交于一点. (2)当时, l1∥l2 当时, l1∥l3 若l2∥l3, 则,无解. 总之,,,,4,时, 三条直线不能组成三角形. B 1. 5,3,8,3,. 设点p(x0,y0)到x轴、y轴距离分别为, ∴p到x轴距离为5，到y轴距离为3.到直线的距离是; 到直线的距离是, 到直线的距离是. 2. . ∵直线l1与l2 的交点 直线与平行，则设方程为 ∵p在直线上 ∴ ∴直线方程为. 3.  若直线斜率不存在，则方程为，它距原点的距离为3. 若直线的斜率存在，则设为k，直线方程为，即. ∴，. ∵≥0 ∴d2≤34 又∵3 ∴d最大值是. 此时. ∴所求直线方程为. 4. -5. ∵l1与,l2与坐标围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补. ∵两坐标轴互相垂直，∴l1⊥l2 ∴  5. . 直线 的斜率，所以直线的倾斜角为. ∵所求直线与原直线成角，则所求直线的倾斜角为α. ∴α= 或α= ∴所求直线的斜率不存在或 ∴所求直线方程为或 6.4,6或-2 若表示直线，则不能同时为零，即m≠0 ∵A(4,-1),o(0,0)到直线距离相等. ∴ ∴ ∴经检验，或或 7.设 BE将面积平分，E为AC上一点，AC边上高为BD. ∴  ∵ ∴,即E为AC中点. ∴ ∴BE的直线方程为 8.∵两条直线互相垂直. ∴ ∴ ∵a,b,c>0,即上式中lgc有解. ∴ =≥0 ∴≥2或≤-2 ∴≥100或0≤ 9.∵直线和都是由一点旋转而得到的. ∴两直线交点为p(12,-12)在所求直线l上. 又∵直线l逆时针旋转了+(90°-)=90°后得到直线 ∴直线l的斜率为 ∴直线l1的方程为. 10. 由入射角等于反射角及等角的余角相等，得 .4 ∵ ∴ ∵ ∵ ∴. 设l1与l2的交点为p,p(-1,2) ∴直线l的方程为. 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u
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