简单的线性规划
[本讲主要内容]
二元一次不等式表示平面区域
线性规划
约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解。
[学习指导]
在本节的学习中我们应明确以下几个问题：
1. 表示的直线的某一侧的平面区域不包括边界的直线, 所表示的平面区域包括边界直线.即
在坐标系中画不等式表示的平面区域时,应注意用虚线和实线对它们加以区分.
2. 在解决“例2”那样的最值问题时,用图解法往往比用代数解法更加准确(详细说明请见 例题精讲 例2中的[解题后的反思])
3. 本节的难点在于如何将实际问题转化成线性规划问题.下面的框图概括了将实际问题转化成线性规划问题的过程(详细说明请见 例题精讲 例4)
[例题精讲]
画出不等式组
表示的平面区域.
[分析及解] 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
不等式表示直线右下方的点的集合,表示直线右上方的点的集合,表示直线上及左下方的点的集合,所以不等式组
表示的平面区域如图1所示阴影部分.
已知实数x,y满足下列条件,求的最大值和最小值.
[分析及解] 根据已知条件知,不等式组表示的平面区域如图2所示阴影部分.
要求的最大(小)值,需弄清z扮演的是什么角色,它是直线在y轴上的截距.
当(x,y)对应图2阴影部分的不同点时,z将随着x,y的不同取值而变化,要求的最大(小)值,也就是要通过运动的直线求得在y轴上的截距的最大(小)值.
表示斜率为定值-2的一组平行直线.我们先作出以-2为斜率,经过(0,0)点的直线l0:2x+y=0,然后以它为基准,将它往右平行移动,在经过图2阴影部分内的点且平行于l0的直线中,以经过点D(1,1)的直线l1所对应的y轴上的截距最小,以经过点B(3,1)的直线l2所对应的y轴上的截距最大.
即
所以当实数x,y满足条件时, 的最大值为7,最小值为3.
[解题后的反思] 我们用图解法解决了以上这个线性规划问题.对于这个线性规划问题能否用代数方法先求出x,y各自的取值范围,然后再求的最值呢?
将不等式与相加,得到,进而解得.
此时,可求出
即
为什么用代数方法求出的结果与用图解法求出的结果不同呢?
如图3显示出表示的平面区域比表示的平面区域的范围大.从而导致z的取值范围的扩大,为什么会出现这样的问题呢?因为在由得到的过程中,我们运用了不等式的性质:“若a>b,c>d,则a+c>b+d”,而这一性质不是充要的,也就是说, 只是的必要条件,而非充分条件,从而导致了x,y的取值范围的扩大.
通过以上分析、比较,我们得出这样的结论:在解决像例2这样的线性规则问题时,用图解法往往比用代数法更加准确.
求不等式表示的平面区域的面积.
[分析及解] 对于绝对值不等式,我们可采用分类讨论的方法去掉绝对值符号.
等价于
或或或
它们所表示的平面区域是以A,B,C,D为顶点的正方形(如图4所示阴影部分)
设四边形ABCD的面积为S,则
所以不等式表示的平面区域的面积为8个单位面积.
某工厂生产甲,乙两种产品,已知生产甲种产品1吨需耗煤9吨,电4千瓦,需劳动力3名;生产乙种产品1吨需耗煤4吨,电5千瓦,需劳动力10名.每1吨甲种产品的利润是7万元,每1吨乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗煤不超过360吨,电200千瓦,所需劳动力不超过300名.甲,乙两种产品应各生产多少吨,能使利润总额达到最大?最大利润是多少?
[分析及解] 将已知数据列成下表:
资源
消耗量
产品
煤(吨)
电力(千瓦)
劳动力(名)
产品利润(万元/吨)
甲产品(吨)
9
4
3
7
乙产品(吨)
4
5
10
12
资源限额
360
200
300
设生产甲,乙两种产品分别为x吨,y吨,利润总额为z万元,则
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图5),即可行域.
作直线l0:7x+12y=0,将l0向右上方平行移动至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且在y轴上的截距达到最大,此时取得最大值.
解方程组得M(20,24),此时
(万元)
答: 生产甲产品20吨,乙产品24吨,可使利润总额达到最大,最大利润为428万元.
[解题后的反思] 像例4这样关于线性规划的实际问题的解题步骤是:
设出变量;
列出约束条件,目标函数;
画出可行域;
作出一条直线 (例如z=0);
观察平行直线系的运动,求出目标函数的最值.
检验所求得的几何问题的解是否满足实际问题的要求.
其中(1),(2)是建立数学模型的过程,也就是将实际问题转化为数学问题的过程;(3)是将已建立的代数模型转化为几何模型,从而利用图解法求解;(4),(5)是利用图解法寻求到几何问题的解.最后应对所得的几何问题的解进行检验,从而得到实际问题的解.
A,B两个产地分别生产同一规格产品12千吨,8千吨,而D,E,F三地分别需要8千吨,6千吨,6千吨,每千吨的运价表如下:
(万元)
到D
到E
到F
从A
4
5
6
从B
5
2
4
怎样确定调运方案,使总的运费为最少?
[分析及解] 根据已知条件得到如下调运方案表
(千吨)
到D
到E
到F
从A
x
y
12-x-y
从B
8-x
6-y
6-(12-x-y)
设从A地向D地调运x千吨,从A地向E地调运y千吨,总的运费为z万元,
则
,
即
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图6),即可行域.
作直线l0: y=3x,将l0向右下方平行移动至l1位置时,直线经过可行域上的点M(8,0),且在y轴上的截距(z-100)达到最小,此时z= -3x+y+100取得最小值,最小值为(万元)
答: 从A地分别向D,E,F三地调运8千吨,0千吨,4千吨;从B地分别向D,E,F三地调运0千吨,6千吨,2千吨,可使总的运费最少,最少为76万元.
[解题后的反思] 例4,例5是有关线性规划的两个实际问题,它们分别属于两种类型: 第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到的效益最大(如例4);第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小,成本最低.
[基础性训练题]
选择题
1. 不等式2x-y-6>0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的( )
(A) 左上方 (B) 右上方 (C) 左下方 (D) 右下方
2. 不等式组所表示的平面区域是( )
第一象限内的三角形
第一象限内的四边形
第四象限内的三角形
第四象限内的四边形
3. 图7中阴影部分可用二元一次不等式组( )表示.
(A) (B)
(C) (D)
4. 是的( )条件.
(A) 充分而不必要 (B) 必要而不充分
(C) 充分且必要 (D) 既不充分也不必要
5. 由和围成的封闭几何图形的面积是( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5
6. 表示的平面区域为( )
解答题:
7. 已知实数x,y满足条件
求①S=x-y的最小值;
②S=2x-y的最小值.
8. 某工厂要制造A种电子设备45台,B种电子设备55台,需用薄钢板给每台设备配一个外壳,已知薄钢板的面积有两种规格,甲种薄钢板每张面积2m2,可做设备A,B的外壳分别为3个和5个,乙种薄钢板每张面积3m2,可做设备A,B的外壳各6个,求两种钢板各用多少张才能使总的用料面积最省.
[提高性训练题]
填空题:
点P(a,4)到直线的距离等于且在不等式表示的平面区域内,则点P的坐标为___________.
不等式组表示的平面区域的面积等于____________.
不等式组表示的平面区域内的整点(横,纵坐标都是整数的点)的坐标分别为_______________.
已知A(1,1),B(5,3),C(4,5),平面区域是的条件是___________.
中,三顶点A,B,C坐标为A(2,4),B(-1,2),C(1,0).如果Q(x,y)在内部或边界上运动,那么的最大值是__________.
变量x,y满足条件,设,则z的最小值为_______,最大值为_______.
解答题:
已知 ,在什么时候取得最大值,最小值?最大值,最小值各是多少?
某公司用两种机器来生产某种产品,第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费;第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费.第一种机器的年利润每台有9万日元,第二种机器的年利润每台有6万日元,但政府核准的外汇日元135万元,并且公司的总维护费不得超过1800元,问每种机器应购买几台最好?
[基础性训练题点拨与解答]
选择题:
(D)
不等式表示的平面区域如图8阴影部分.
(B)
不等式组所表示的平面区域如图9阴影部分.
(C)
(B)
不等式表示的平面区域如图10(甲)阴影部分,不等式表示的平面区域如图10(乙)阴影部分,则是的必要不充分条件.
(C)
由和围成的封闭几何图形就是由不等式组或不等式组围成的平面区域(如图11阴影部分)
(D)
不等式等价于或
解答题:
①–2; ②0.
不等式组所表示的平面区域如图12阴影部分.
①∵S为直线S=x-y在y轴上的截距的相反数.
∴要求S的最小值,即求直线S=x-y在y轴上的截距的最大值(即-S的最大值)
将直线l0: x-y=0向左上方平行移动至l1(即直线DE)的位置时,直线经过可行域上的点,且在y轴上的截距达到最大,此时-S的最大值为2,即S的最小值为-2.’
②同①,求得S=2x-y在E(2,4)处取得最小值0.
甲种钢板5张,乙种钢板5张.
设用甲种钢板x张,乙种钢板y张,总的用料面积为z平方米,则
以上不等式组所表示的平面区域如图13阴影部分.
当直线经过点M(5,5),即到达 l1位置时,z取得最小值25.
即两种钢板各用5张时,可使总的用料面积最省.
[提高性训练题点拨与解答]
填空题:
(16,4)
点P(a,4)到直线的距离等于,即,
解得a=16,-4,
∴P(16,4)或P(-4,4)
∵
∴所求点 P为 (16,4).
不等式组表示的平面区域如图
14阴影部分.
(2,1),(1,0),(2,0),(1,-1),(2,-1),(3,-1)
不等式组表示的平面区域如图15阴影部分.
先求出直线AB,BC,CA的方程.
AB: x-2y+1=0; BC: 2x+y-13=0; CA: 4x-3y-1=0
然后确定出条件.
1
先求出直线AB,BC,CA的方程,
AB: 2x-3y+8=0; BC: x+y-1=0;
CA: 4x-y-4=0.
∵点Q(x,y)在内部或边界上运动,
∴x,y满足不等式组
不等式组表示的平面区域如图16阴影部分.
当直线z=x-y经过点C(1,0),即到达l1位置时,z取得最大值1.
不等式组表示的平面区域如图17阴影部分.
在中,z是直线y=zx(不包括原点)的斜率,当直线经过点B(5,2),即到达直线l1位置时,z取得最小值;当直线经过点,即到达直线l2位置时,z取得最大值.
解答题:
当x=2,y=1时,取得最小值13;当x=3,y=4时, 取得最大值41.
不等式组表示的平面区域如图18阴影部分.
当x=2,y=1时, 取得最小值13;当x=3,y=4时, 取得最大值41.
第一种机器购买33台,第二种机器购买7台最好.
设第一种机器购买x台,第二种机器购买y台,总的年利润为z万日元,则
不等式组表示的平面区域如图19阴影部分.
当直线经过点,即到达l1 位置时,z取得最大值,但题目要求x,y均为自然数,故进行调整,调整到与M邻近的整数点(33,7),此时取得最大值,即第一种机器购买33台,第二种机器购买7台较好.
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