椭圆及其标准方程 本讲主要内容 1．掌握椭圆的定义和根据椭圆的定义推求椭圆标准方程的方法. 2．掌握椭圆的标准方程. 3．掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程. 学习指导 1．本讲的重点、难点. 重点：椭圆的定义及其有关概念、椭圆的标准方程. 难点：分清椭圆两种标准方程的不同形式与椭圆的关系. 2．学好这部分内容的关键. 关键是掌握椭圆的定义、有关概念、标准方程与椭圆图形的对应关系. 3．学好椭圆的标准方程时,要注意些什么？ (1)把椭圆的位置特征与标准方程的形式统一起来,椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定.即：如果椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,那么这个位置是标准位置,此时由于长轴也在x轴上,半长轴的平方a2是方程中含
项的分母,所以方程为
；如果椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,那么这个位置也是标准位置,此时由于长轴在y轴上,半长轴的平方a2是方程中含
项的分母,所以方程为
. (2)求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面,“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置,在中心是原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式；“定量”则是指确定a
、b
的具体数值,常用待定系数法. 注意：若已知条件给出了椭圆的焦点在x轴或在y轴上,则椭圆的标准方程仅取一种形式,若已知条件给出了椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,则椭圆的标准方程应取两种形式. 例题精讲 例1：求以圆x
+y
-2x-8=0的圆心为右焦点,此圆与y轴的交点为顶点的椭圆的方程. [分析]由题意应先求出圆心的坐标从而确定焦点的位置,以便你确定所求的椭圆的标准方程的形式,同时借助此圆与y轴的交点坐标,求出椭圆的方程. [解] 将圆x
+y
-2x-8=0的方程整理 得(x-1)
+y
=9, ∴圆心坐标为(1,0),与y轴交点的坐标为(0,
2
). 由题意所求椭圆的标准方程为
+
=1,且c=1,b=2
, ∴a
=b
+c
=9, ∴所求椭圆方程为
+
=1. [解题后的点拨]求椭圆方程时首先应由已知条件确定焦点的位置,从而确定所求的标准方程为哪种形式,然后再确定a、b值. 例2．已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长2a是短轴长2b的3倍,且过点P(3,2),求椭圆的标准方程. [分析]由题意设椭圆的标准方程为
,运用待定系数法,借助题中的两个条件求出a、b的值,从而求出其标准方程. [解] 设椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0),则有
把①代入②,得
, ∴
. 解得b
=5, a
=45. 从而所求椭圆的方程为
. [解题后的点拨]这里运用的待定系数法,它经历了确定方程的结构形式,列出a、b的两个方程和求解三个步骤,求解时,不把②式作去分母处理,而用换元法把
看作一个整体,这种方法在今后解题时要注意运用. 例3．在ΔABC中,BC=24,AC、AB的两条中线之和为39,求ΔABC的重心轨迹方程. [分析]由题意应先建立适应的坐标系,以BC所在的直线为x轴,BC的中垂线为y轴,由题意所求点的轨迹为椭圆且焦点在x轴上. [解] 以BC所在直线为x轴,BC的中垂线为y轴建立直角坐标系,M为重心,则
×39=26, 由椭圆定义可知点M的轨迹为以B、C为焦点的椭圆且 2a=26, c=12, ∴b
=a
-c
=169-144=25. 故所求的椭圆方程为
1(y
0). [解题后的点拨]在解析几何里,求符合条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.本题应注意用定义解题,求出方程,要根据题意检查方程的曲线上的点是否符合题意,要把不符合题意的点去掉. 例4．一条线段AB的长等于2a,两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动,点M在AB上且AM：MB=1:2,求点M的轨迹方程,并判断轨迹是什么？ [分析]本例与上例不同之处在于,点M的轨迹不能由题设直接确定是什么曲线,故用求曲线方程的一般方法先求曲线的方程,再确定轨迹. [解] 设点M的坐标为(x,y),A的坐标为(
,0),B的坐标为(0、y1). ∵
, 由线段的定比分点坐标公式可得：
又∵
,即
, ∴
, 将
代入得,
, 整理得,
5. ∴所求的点M的轨迹方程是
,轨迹是椭圆. [解题后的点拨]本题有两个关键性的条件,由
,可求出x1,y1所满足的方程,由AM:MB=1:2,借助定比分点公式例出x与x1,y与y1之间的关系,代入上述方程,从而求出点M的轨迹方程,这种间接求轨迹方程的方法在这们解题时经常运用,大家要注意这方面的练习. 基础性训练题 一．选择题: 1．动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和是8,则动点P的轨迹方程为( )． A．椭圆 B．直线F1F2 C．线段F1F2 D．不能确定 2．若椭圆
上有一点P到左焦点F1的距离为1,F2是右焦点,那么
值为( )． A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 3．一动点到两定点(0,-4),(0,4)的距离的和是12,则动点的轨迹方程是( )． A．
B．
C．
D．
4．当关于x、y的方程
所表示的曲线为椭圆时,方程
所表示的圆的圆心在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设椭圆
的两焦点为F1、F2,P为椭圆上一点,且
,那么
的面积是( )． A．9 B．12 C．18 D．
6．椭圆
的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么
是
的( )． (98年高考试题) A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．3倍 二．解答题: 7．求焦点在x轴上,两焦点关于原点对称,焦距为8,且过点(0,3)的椭圆的方程． 8．求与椭圆
有相同焦点,并经过点
的椭圆的方程． 9．点P(-3,0)是圆
内一定点,动点M和已知圆相内切且过点P,求圆心M的轨迹方程． 10．过x轴上一定点A(1,0),向椭圆
作弦,求该中点的轨迹方程． [基础性训练题点拨与解答] 一．选择题: 1．答案：C [解]：∵
,又
, ∴动点P的轨迹为线段F1F2,故选C. 2．答案：C [解]
∴
,故选C． 3．答案：B [解]由题意设所求椭圆方程为
, ∵
即
,
∴
∴所求方程为
．故选B． 4．答案：D [解]∵
为椭圆方程, ∴
且
, ∴
且
, 又∵
为圆的方程. ∴圆心
在第四象限． 故选D． 5．答案：A [解] 设
,
, 则
,
． 由此解得mn=18． 故
．故选A． 6．答案：C [解]设F1为左焦点,F1(-3,0),F2(3,0)． 设P(x1,y1),线段PF1的中点的横坐标为O,则
,x1=3． 把x1=3代入椭圆方程
, ∵P(3,
),则
． ∴
∴
．即
．故选C． 二．解答题: 7．[解]：由题意设椭圆的标准方程为
,(a>b>0)． ∵椭圆过点(0,3), ∴
,即
, 又∵焦距为8,即2c=8,c=4, ∴
∴所求的椭圆的方程为
． 8．[解]：∵已知椭圆a=4,b=2, ∴
, 设所求的椭圆的方程为
(
)
①
② 由①②解得
或
． ∵
不合,应舍去． ∴
,这时
, ∴所求椭圆的方程为
． 9．[解]：∵已知圆的方程为
, ∴圆心为
,半径为8,动点M过P点,故
(动圆的半径),又动圆M与已知圆相内切, ∴
, ∴
, 点M在椭圆上,且
,
,
, ∴c=3,
∴所求方程为
． 10．[解]：设Q(x0,y0)是椭圆
上的任一点,P(x,y)是弦AQ的中点, 则
∴
∵Q在椭圆
上, ∴
, 故所求弦中点的轨迹方程为
． [提高性训练题] 一．填空: 1．正方形相邻的两个顶点为F1(-3,0),F2(3,0),以F1、F2为焦点,且过正方形中心的椭圆的方程为_______________． 2．求过点M(4,
),N(
,3)的椭圆的标准方程________________． 3．方程
表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是_________． (1994年高考试题) 4．在ΔABC中,
,如果A、C的坐标分别是(-1,0),(1,0),则该点B的轨迹方程为_______________． 5．过椭圆
的左焦点F1作直线交椭圆于A、B两点,F2是其右焦点,则ΔABF2的周长等于_________． 6．椭圆
上一点P到两焦点的距离之积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是____________． 二．解答题: 7．已知两圆
和
,求与这两圆都相切的圆的圆心的轨迹． 8．P是椭圆
上的一点,F1、F2是焦点,若
,求ΔPF1F2的面积． 9．直线l与椭圆
交于A、B两点,并且线段AB的中点的坐标为(1,1),求直线l的方程． 10．如图在面积为1的ΔPMN中,
,
,建立坐标系,求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程．(93年高考试题) [提高性训练题点拨与解答] 一．填空: 1．答案：
[解]：由题意所求椭圆为
,(a>b>0) 由题意
,c=3, ∴
, ∴所求方程为
． 2．答案：
. [解]：由题意所求椭圆方程为
①或
②(a>b>0) 将点
,
分别代入①、②, 由①得
,
,不合题意,舍． 由②得
,
． ∴所求方程为
． 3．答案：0b>0), ∵
∴a=2,且c=1 ∴
, ∴所求方程为
(
)． 5．答案：12. [解]：由椭圆定义
,
, ∴ΔABF2的周长
． 6．答案：(0,3),(0,-3). [解]：椭圆两焦点的坐标为(4,0),(-4,0), 设P点到其中一焦点距离为x, 则
． ∵m的最大值是25, ∴x=5,10-x=5． 即P点应为椭圆在y轴的交点, ∴P(3,0)或P(-3,0)． 二．解答题: 7．[解]：设动圆的圆心为P(x,y),半径为r,由已知可判断出两圆是内含关系, ∴
,
, ∴
, 整理得,
, ∴所求的圆的圆心的轨迹方程为
． 8． [解]：由
得a=5,b=4,c=3, 由椭圆的定义得
, 平方得

=100① 又由余弦定理得
cos30°, 即62=
② 由①②得
=64(2-
). ∴S
=
=16(2-
). 9． [解]由已知,设直线l的方程为y-1=k(x-1),代入椭圆方程4x2+9y2=36中, 得4x2+9[k(x-1)+1]2=36, 整理得(9k2+4)x2-18(k2-k)x+9k2-18k-27=0.
故当
① 设A(x1,y1) B(x2,y2), 则x1+x2=
. 又线段AB的中点为(1,1),所以
解得k=
. 可以验证k=
符合①式条件, 于是所求直线l的方程为 y-1=
(x-1)即4x+9y-13=0. 10． [解]如图建立直角坐标系,以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,设所求椭圆方程为
. M(-C,0),N(C,0),P(xo,yo).
tan
,
由题设知
,

,
解得
在
=2c,MN上的高为
,
S
=
,

,即P(
,
).
,
=
,
a=
, 从而b2=a2-C2=3,故所求椭圆方程为
. 研究探讨题 解析几何是高中数学的重要内容之一,也是高考的重点内容之一,通过对这部分内容的考查,不仅能检查学生掌握解析几何知识的情况,还能有效地检查学生符合应用数学知识分析和解决问题的能力,例如1995年上海高考中的一道解析几何题,它即考查了椭圆的知识,又考查了函数的概念,面积的知识及符合应用知识与推理计算能力,下面我们就一起看看这道题. 设椭圆的方程为
,过原点且倾角为θ和
－θ (0<θ<
的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D四点. 用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S； 若m、n为定值,当θ在(0,
上变化时,求S的最大值u; 如果u>mn,求
的取值范围. [解］(1)设经过原点且倾角为θ的直线方程为y=x
,解方程组 y=x
,
, 得 x2=
, y2=
, 由对称性,得四边形ABCD为矩形, 又由于O<θ<
,所以四边形ABCD的面积S=4
(2)S=
(i)当m>n；即
, ∵
≥
, 当且仅当
时等号成立. ∴
≤
. 由于
≤
,
, 故取
,得
. (ii)当
,即
时,对于任意
≤
,由于
=
=


≤1,
, ∴
,
, 于是,在
上,
是θ的递增函数,一般取
即
,得
, 即
(3)(i)当
时,
恒成立. (ii)当
时,
, 即有
. ∴
. 又由
,得
. 综上所述,当
时,
的取值范围为
∪
. 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

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