椭圆的几何性质
本讲的主要内容
1．能够根据方程，讨论曲线的范围、对称性、特殊点……
2．掌握椭圆的几何性质——范围、对称性、顶点、离心率、准线和准线的方程及其几何意义，以及椭圆可由其焦点、准线和离心率确定。
3．了解椭圆的参数方程。
4．能够根据条件利用工具画出椭圆的图形，并了解椭圆的初步应用。
学习指导
1．本讲的重点、难点是什么？
重点：椭圆的几何性质。
难点：椭圆的离心率、准线方程与椭圆的关系以及椭圆的应用。
2．学习椭圆的准线，要注意些什么？
（1）弄清椭圆与它的两条准线的位置关系：两条准线垂直于椭圆的长轴所在的直线，椭圆夹在两条准线之间，两条准线关于椭圆的短轴所在的直线与椭圆的中心对称。
（2）巧记准线方程，首先记住准线与椭圆中心的距离是，然后根据准线的位置（指垂直于x轴还是垂直于y轴）写出准线的方程。
（3）掌握准线的性质，椭圆上任何一点到焦点的距离与它到准线的距离之比等于离心率e，这里e是一个大于0且小于1的常数。
（4）知道焦点到相应准线的距离叫做焦准距，记作P，另知.
例题精讲
例1．已知椭圆的两个顶点的坐标为（±4，0），离心率为，求这个椭圆的方程。
[分析]由已知两个顶点有可能是椭圆长轴上的两个顶点，也有可能是短轴上的两个顶点，故应分两种情况来解。
[解]当已知的两个顶点为椭圆长轴上的两个顶点时，设它的方程为
∵a=4，，
∴c=2。
∵b2=a2-c2=16-4=12。
∴所求椭圆方程为。
当已知的两个顶点为椭圆短轴上的两个顶点时，设它的方程为。
∵b=4，，且a2=b2+c2，
∴a2=42+()2.
解得。
∴所求椭圆方程为。
综上可知，所求的椭圆方程为或。
[解题后的点拨]本题由题意应有两个解，在解题前应先由已知条件作出正确的判断，千万不要丢解。
例2．在椭圆上求一点P，使它到直线l：3x+4y=50的距离最大或最小。
[分析]这是一个求最值的问题，这样的题一般有两种解法：一是利用椭圆的参数方程，则可设椭圆上任意一点，然后借助三角函数的值域，从而求出其最值；二是利用数列结合的思想我们发现，与直线l平行且与椭圆相切的直线，其切点到直线l的距离即为我们要求的最值。
[解法一]设椭圆上点，（0≤θ<2π）则点P到直线l的距离为：
=
=
当时，，这时，点P的坐标为（）；
当时，，这时，点P的坐标为（）。
[解法二]如图，设与直线l平行的直线的方程为：3x+4y+m=0，则当在l1位置（或l2位置时）；直线与椭圆相切，切点到直线l的距离最大（或最小）。由3x+4y+m=0得代入，化简整理得
①
当时，解得，代入①式得，分别代入得。
∴，。
∴当P点的坐标为时，。
当P点的坐标为时，。
[解题后的点拨]以上两种方法希望大家都能很好的掌握，相比较起来方法会更简单一些，虽然教材中对椭圆的参数方程要求不高，也没做过多的讲解，但它在解某些题的时候用起来还是很方便的，希望大家注意这方面的练习。
例3．设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。
[分析]由题意所求椭圆方程为，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离为，因此本题是求最值的逆向问题，解题时可先按最值问题处理，再根据最大值为确定待定参数的值，从而求解。
[解]由于，故，于是椭圆方程可设为。
设是该椭圆上任意一点，则点m到点P（0，）的距离d有：
=。
由于-b≤y≤b，故
（1）当时，y=-b，d2最大，于是，依题意，解得，但由于，与前提矛盾，故舍去。
（2）当b≥时，，d2最大，于是，依题意，解得，，故所求椭圆方程为。
把代入椭圆方程，得，
∴所求P点的坐标为与。
[解题后的点拨]本题有几个关键的地方：一是由离心率e，导出、的关系，从而使设椭圆方程时可以少一个参数，这是非常常用的方法一定要掌握；另外由于-b≤y≤b，故应对b进行分类讨论，这也是大家应注意的。
例4．设椭圆的中心在原点O，两个焦点在坐标轴上，直线y=x+1与此椭圆相交于P、Q两点，并且OP⊥OQ；，求这个椭圆的方程。
[分析]由题意两个焦点在哪个坐标轴上并不能确定，故标准方程要取两种形式，本题主要考查的是直线与椭圆的位置关系，注意交于P、Q两点则Δ>0别忘了考虑，OP⊥OQ，可利用来解决。
[解]设所求椭圆方程
把y=x+1代入上椭圆方程中，得
，
展开整理得。
∵，故
Δ=，即
①
设，，则
，， ②
由OP⊥OQ，得，
∴
整理得， ③
由，即，得
∵
。
∴ ，
∴ 。 ④
用换元法解由③，④组或解关于，的方程组，将③代入④，得
。
∴
∴或，
于是得或
再由③，可得或
再由换元法解这个方程组，可得
或
并且可验证，以上取值符合①式的条件。
于是所求的椭圆方程是或。
[解题后的点拨]本题在设所求椭圆的标准方程为时并没有限定，而只限定，，将两种形式合二而一，这会使求解过程更简捷一些，应注意借鉴这种方法。
基础训练题
一．选择题:
1．椭圆上一点P到左准线的距离是，则P到右焦点的距离为（ ）
（A）8 （B） （C） （D）
2．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，长轴的长为6，则椭圆的方程为（ ）
（A）或
（B）或
（C）
（D）
3．如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．F是定直线l外的一个定点，以下为焦点，l是相应准线的椭圆有（ ）
（A）1个 （B）2个 （B）3个 （D）无数个
5．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，并且∠F1PF2=90°，那么椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（ ）（96全国高考试题）
（A） （B）
（B） （D）
二．解答题:
7．根据下列条件求椭圆的标准方程:
（1）两条准线的方程为，离心率为；
（2）离心率为，且过点（0，4）。
8．若椭圆的准线方程为，求实数m的取值集合，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小。
9．试在椭圆上求一点，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍。
10．求过定点，以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。
基础训练题点拨与解答
一．选择题:
1．答案：（A）
[解]由椭圆的第二定义
，
∴。
由椭圆的第一定义。
P到右焦点的距离
∴，故选（A）。
2．答案：（B）
[解]∴，，
∴即。
由题意焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求方程为或，故选（B）。
3．答案：（C）
[解]由题意，∴
∴，故选（C）。
4．答案：（D）
[解]由于平面内动点m到定点F的距离和到定直线l的距离d之比没有确定，所以只要，动点m都可以形成椭圆，故选（D）。
5．答案：（B）
[解]在Rt△F1PF2中，，，
则，且。
∴。
由于时，有≤≤1。
故选（B）。
6．答案：（A）
[解]由题意 ①，又 ②，
把②代入①得，，
∴，故所求椭圆方程为。
故选（A）。
二．解答题:
7．[解]①由题意，，
∴a=2,c=1,.
故所求椭圆方程为。
②由题意若a=4, ,
则c=2, .
故所求椭圆方程为。
若b=4，，
即。
由，得。
解得。
故所求椭圆方程为。
8．[解]由题意,又准线方程为，
则椭圆的焦点在x轴上，于是，
从而，，。
∴，
解得 。
∴m的取值集合为{3}，并且椭圆方程为，
它的焦点坐标为（），离心率为。
9．[解]设点，F1、F2是椭圆左、右焦点；则，
，椭圆的准线为，
由定义，
解得，∴。
10．[解]∵椭圆经过点m(1,2)，且以y轴为准线，
∴椭圆位于y轴右侧，长轴平行于x轴，
设椭圆左顶点A（x,y），
∵椭圆离心率为，
∴A点到椭圆左焦点F的距离与A点到y轴的距离之比为，
设F点（m,y），则
。
解得 ，即。
又定点m(1,2)也是椭圆上一点，
∴与点m到准线（y轴）的距离之比也是，
即，
化简后得。
提高训练题
一．填空题:
1．若椭圆的焦点在x轴上，焦点到短轴的端点的距离为2，到相应准线的距离为3，则椭圆的标准方程为_________________。
2．如果椭圆的两个焦点把椭圆的对称轴上夹在两条准线之间的线段三等分，那么此椭圆的离心率等于__________。
3．若椭圆的一个焦点为F，点F关于点（2，0）的对称点的坐标为（4，-1），则实数m的值为____________。
4．若椭圆的离心率是，则此椭圆短半轴的长为_______________。
5．若椭圆的离心率，则的值等于___________。
6．设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是_____________。
二．解答题:
7．若,求的最大值与最小值。
8．过点作直线l与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积的最大值，并求此时的直线方程。
9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，的内心为I，连结PI并延长与F1F2交于Q，且，求椭圆方程。
10．离心率的椭圆，截直线x+2y+8=0所得的弦长为，求此椭圆的方程。
提高训练题点拨与解答
一．填空:
1．答案：
[解]∵坐标原点，椭圆焦点和短轴的端点构成Rt△，两直角边为b.c，斜
边为a。
∴a=2，
又∵，
∴，
解得 c=1，。
∴椭圆方程为。
2．答案：
[解]不妨设椭圆的方程为，
∵，两准线之间的距离为，故有，
∴，即。
3．答案：4
[解]点（4，-1）关于点（2，0）的对称点为（0，1），
∴c=1，,.
4．答案：1
[解]∵，，
∴，
解得m=4.
5．答案：4或
[解]当时，，，
依题意，得，解得k=4。
当时，得，解得。
6．答案：
[解]设焦点，其中，
将x=c代入椭圆方程得,
∴过且垂直于x轴的弦长为，
而F1到直线l1的距离为，
∴有，即，
∴。
二．解答题:
7．
[解]把看作过两点（4，3）和（）作直线的斜率。
由得。
设过（4，3）的直线方程是代入，得
。
∴Δ=。
解得 。
∴，。
8．
[解]设直线方程为，代入椭圆方程化简得，
设两根为，则的面积为
=
=
≤，当且仅当，
时取最大值，此时直线l的方程为。
9．
[解]∵I为的内心，连结F1I、F2I，
在中， ，
在中， ，
∴，
∴，
即
∴
若椭圆的焦点在x轴上，则，由，得c=4，
∴。
若椭圆的焦点在y轴上，则
∴。
∴所求椭圆方程为或。
10．
[解]由，得，
∴。
∴设所求椭圆方程为。
设椭圆与直线两交点为，。
由
解 。
∴，
。
∴
=
=
=10。
解得 。
∴所求椭圆方程为。
研究探讨题
直线与二次曲线关系的问题是近几年来高考的重点，下面一题即考查了这一热点。
已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，并且满足下列条件：①离心率，②过P（1，0）的直线l与椭圆交于A、B两点，且AB的中点在直线上，③椭圆上存在一点，与其右焦点F关于直线l对称，求直线l与椭圆c的方程。
[解]由题意设椭圆方程为，
由①则，又，
∴。
则椭圆方程为：。 （1）
又直线l不平行于x轴，否则AB的中点在x轴上与条件②不符，因而可设直线l的方程为：
，代入（1）得
（2）
设点A（），B（），由方程（2）
知，
∵AB中点（）在直线上，
∴，即。
又代入上式
得。
∴，
∴，又，
这时方程（2）变成：，
，
∵l与椭圆c相交两点，
∴得，
l的方程为，
又椭圆在焦点为（c,0），
得它关于x的对称点（）满足
得
∴点（1，1-c）在椭圆上，
∴，
得，因此直线l与椭圆必有两个交点。
由，，，
∴l:
椭圆：.
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