抛物线及其标准方程,抛物线的几何性质
本讲主要内容：
1. 掌握抛物线的定义和根据抛物线的定义推求抛物线的标准方程的方法.
2. 掌握抛物线的四种标准位置和四个标准方程,以及对应的焦点坐标和准线方程.
3. 掌握运用待定系数法求抛物线的标准方程.
4. 掌握抛物线的几何性质——范围、对称性、顶点、离心率及其几何意义.
5. 掌握直线和抛物线位置关系的判定,抛物线的弦长、弦的中点坐标的求法.
6. 能够根据条件利用工具画出抛物线的图形,并了解抛物线的初步应用.
学习指导
1. 本讲的重点、难点：
重点: 抛物线的定义及其有关概念,抛物线的四种位置、四种标准方程、焦点坐标、准线方程和抛物线的几何性质.
难点: 分清标准方程的四种不同形式以及抛物线的应用.
学好抛物线的关键是掌握抛物线的定义、有关概念、标准方程和抛物线图形的对应关系.
2. 在学习抛物线标准方程时,怎样把位置特征和方程的特点统一起来.
应把握顶点、对称轴、开口方向与方程形式的对应关系.
例题精讲
例1 过抛物线的焦点F的弦长为,求弦所在的直线方程.
[分析] 本题是求直线方程的题,应注意对斜率是否存在进行讨论,利用点斜式设出直线方程,根据弦长为求k的值,从而求出直线方程.
[解] 由知F(1,0),易验,过F与x轴垂直的直线不满足要求,设所求直线方程为(k存在),直线与抛物线交点为.
由 得
∴
解得
∴所求直线方程为.
[解题后的点拔] 有关焦点弦的问题,可考虑直接利用定义解题,本题也可以利用弦长公式来解.
例2 抛物线上有两个定点A、B分别在对称轴的上下两侧,F为抛物线的焦点,且,在抛物线AOB部分上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值.
[分析] 由题意△ABP的面积到AB的距离,因为的长为定值,故欲求面积的最大值,即应求出P到AB的距离的最大值即可.所以要先确定AB所在直线的方程,根据点到直线的距离公式求此距离,注意P在抛物线AOB部分上一点这一条件.
[解] 由,知准线方程是
∵
∴
故A(1,2) (A在x轴上侧)
同理B(4,-4).
∴,AB的方程为.
设为抛物线AOB部分上一点,d为P到AB的距离,
则.
∴
当时,,此时.
∴,的最大值为.
[解题后的点拔] 根据题意的取值应在(-4,2)之间这一点很重要,千万不可忽视.
例3 已知抛物线,过点P(4,1)引一条直线l与抛物线交于两点,又P恰为线段PB的中点,求直线l的方程.
[分析] 本题求直线方程关键是确定斜率k,确定k有两种方法: 其一是将直线方程与抛物线方程联立,根据韦边Th求出k;其二是设出两点的坐标,k等于其纵坐标的差除以横坐标的差,借助它们都在抛物线上,代入抛物线方程,相减求k.
[解] 方法一:设直线l的方程为.
由方程组
消去x,得.
若,则由一元二次方程根与系数的关系,可得
又∵P(4,1)为的中点,
∴
即
∴直线l的方程为.
即.
方法二: 设
∵两点均在抛物线上,
∴
两式相减,可得
又∵P(4,1)为的中点,
∴
∴
即直线斜率
∴直线l的方程为.
即.
[解题后的点拔] 涉及到弦中点问题,常使用一元二次方程根与系数的关系,这样可直接得到两交点的坐标之和;也可用作差的方法找到两交点坐标之和,这样直接与中点建立了联系.
例4 如图,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,一条直线经过原点,且点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在抛物线C上,求直线l和抛物线C的方程.
[分析] 本题求直线和抛物线的方程,关键是确定k、p的值,可以选择两种方法,其一是利用直线AA’与直线l的方程联立.求出A’、B’的坐标,由A’、B’在抛物线上,求出k、p的值.其二是可设,从而写出A’、B’的坐标,同样由A’、B’在抛物线上,求出p的值,再利用k与倾斜角的关系求出k的值.
[解] 方法一:由题设,可设直线l的方程为,抛物线C的方程为,而且点A,B关于l的对称点分别为A’、B’.
∵AA’⊥l
∴AA’的方程为.
由方程组.
可解得AA’与l的交点M,即A’A的中点坐标为.
由中点坐标公式及A点坐标,求得A’点的坐标为.
同理可求得B’点的坐标为.
又∵A’、B’两点均在抛物线C: 上,
∴
即
解得
∴直线l的方程为,
抛物线C的方程为.
方法二: 设点A、B关于直线l的对称点分别为A’、B’.
∵
∴由对称性可得
若设,则,且
又∵点A’,B’均在抛物线上,
∴.
解得
由于
∴
∴
∴
故抛物线C的方程为.
再∵直线l平分,且,
∴直线l的斜率
∴直线l的方程为.
基础性训练题:
一. 选择:
1. 动圆过点(0,1)且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
2.抛物线的焦点在直线上,求其标准方程( )
(A) (B)
(C) (D)
3. 抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,过焦点且垂直于x轴的弦和顶点所成的三角形面积为4,则抛物线的方程( )
(A) (B)
(C) (D)
4. 过抛物线的焦点作直线,交抛物线于两点,如果,那么等于( )
(A) 10 (B) 8 (C) 6 (D) 4
5. 动点P到直线的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2,则点P的轨迹是( )
(93上海高考试题)
(A) 直线 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线
6. 圆心在抛物线,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(92年全国高考试题)
二. 解答题:
7. 过(0,-2)的直线与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,求.
8. 已知抛物线,过焦点的直线与抛物线交于A、B两点,若=8,求直线的方程.
9. 顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线,被直线截得的弦长为,求抛物线的方程.
10. (如图)抛物线有一个内接,直角顶点在原点,一直角边OA所在的直线方程是,斜边AB的长是,求抛物线的方程.
基础性训练题点拨与解答:
一. 选择题:
1. 答案: (C)
[解] 由题意所求轨迹上的点到定点(0,1)和定直线的距离相等,由抛物线定义可知,所求轨迹以(0,1)点为焦点,准线方程为的抛物线,即,故选(C).
2. 答案: (D)
[解] 由题意抛物线的焦点为直线与x轴的交点(4,0)和与y轴的交点(0,-3).
故所求的抛物线方程为或.故选(D).
3. 答案: (B)
[解] 由题意所求抛物线为,
其焦点坐标为.
过焦点且垂直于x轴的直线为.
由解得过焦点垂直于x轴的弦长为2p.
∴
解得,
∴故选(B).
4. 答案: (B)
[解] 设抛物线的焦点为F,准线方程为,
由抛物线定义
∴,故选(B).
5. 答案: (D)
[解] 由题意,动点P到点M(2,0)的距离等于这点到直线的距离,因此动点P的轨迹为抛物线.故选(D).
6. 答案: (D)
[解] 抛物线方程为,其准线方程为.
设所求圆的圆心为,则此点即抛物线准线的距离为,则x轴的距离为,于是有.
解得,
∴圆心坐标为或.
圆的方程为或
即或.
故选(D).
二. 解答题:
7. [解] 设直线AB的方程为(k存在)
由 得
∴
∴
∴或(舍去)
∴,
∴
8. [解] 由知F(1,0)
设直线AB的方程为 (k存在)
由得
设,则
解得或(舍去)
所求的直线方程为或.
9. [解] 设抛物线方程是,
由 得
∴
∴
∴
解得或
∴所求抛物线方程为或.
10. [解] 由方程组,解得,
直角边OB所在直线方程为.
由方程组,解得
∵
∴
解得
∴
∴抛物线方程为
提高性训练题:
一. 填空题:
1. 已知直线与抛物线交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是_________.
2. 过直线和圆的交点,且对称轴为坐标轴的抛物线方程是_________.
3. 已知平面上动点Q到定点F(1,0)的距离比Q到y轴的距离大1,则动点Q的轨迹方程为_________.
4. 已知点(-2,3)与抛物线的焦点的距离是4,则p=_________.
(96年全国高考试题)
5. 抛物线到直线的距离为最小的点P的坐标是_________.
6. 抛物线的弦AB垂直于x轴,若AB的长为,则焦点到AB的距离为_________.
(93年全国高考试题)
二. 解答题:
7. p为抛物线方程上一点,求的最小值.
8. 设过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,若弦AB的中垂线恰过点(5,0),求抛物线方程.
9. 已知抛物线与圆至少有一个公共点.求a的取值范围.
10. 抛物线与过点m(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为坐标原点,若直线OA和OB的斜率之和为1,求直线l的方程.(93年上海市高考试题)
提高性训练题点拨与解答:
一. 填空题:
1. 答案: (4,2)
[解] 设
由 得
由韦达Th,
由中点坐标公式
设所求点坐标为(4,2)
2. 答案: 或
[解] 由得交点坐标为(0,0)或(-3,-3)
由题意所求抛物线方程为或
将点(-3,-3)代入得
∴所求抛物线方程为或.
3. 答案: 或
[解] 显然x轴负半轴上的点符合题意,即有.
另外,动点Q到定点F(1,0)的距离比Q到y轴的距离大1,等价于动点Q到定点F(1,0)的距离等于Q到直线x=-1的距离,故动点Q的轨迹是抛物线,有, ∴
∵焦点在x轴正半轴上,
∴
故Q点的轨迹方程为或.
4. 答案: 4
[解] 抛物线的焦点坐标是.
由两点距离公式得,
整理得.
解得(舍)
∴
5. 答案: P(1,1)
[解] 设,则
由
∴当时,
故P(1,1)
6. 答案: 2.
[解] ∵
∴焦点坐标是(1,0)
∵弦轴,设,则
∴,代入
得
∴焦点到AB的距离为2.
二. 解答题:
7. [解] 设,
则
当,即时,
当,即时,
8. [解] ∵抛物线的焦点为.
∴直线AB的方程为,代入
得
显然,设
AB中点,由韦达Th得
∴
弦AB的中垂线方程为:
由于Q(5,0)在弦AB的中垂线上,
∴
∴
∴抛物线方程为.
9. [解] 方法一: 由
得 (*)
由,
∴
故两曲线至少有一个公共点 方程(*)
至少有一个非负实根,
故由
得:
方法二: (数形结合)
在同一坐标系中作抛物线和圆的图形,当两曲线内切时,由,得！@,当两曲线外切时,由,得.
∴.
10. [解] 由 得
设
由韦达Th得:
又
则直线l方程为.
研究探讨题:
抛物线也是高考的重点内容之一,前面已经举了几个高考试题的例子,下面再来研究一下下面这道题.
抛物线方程为,直线与x轴交点在抛物线的的准线的右边,
(1) 求证: 直线与抛物线总有两个交点.
(2) 设直线与抛物线的交点为Q,R,,求P关于m的函数的表达式.
(3) 在(2)的条件下,若m变化,使得原点O到直线QR的距离的距离不大于,求P的值范围.
证: (1) 抛物线的准线方程是,直线与x轴的交点为(m,0),则,即.
由
得
而判别式
又及,可见.
因此,直线与抛物线总有两个交点.
(2)设Q、R两点的坐标分别为,由(1)知是方程的两根,所以,由,得,即有.
又Q、R为直线上的点,因而,于是.
∴
由,得
(3)由于原点O到直线的距离不大于,于是,
∴
由(2)知且,
故
由(2),
当时,任取,,
则
由,知
又由,知,
因而为减函数.
可见,当时,
同样可证,当时, 为增函数,从而.
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