直线与二次曲线
(一)网上课堂
[本讲主要内容]
1．直线与二次曲线的位置关系,一般由方程组消元后用根的判别式判断实数解的个数来判定,其中直线与圆的位置关系还可考虑几何意义.
2．中点弦问题,通常使用中点坐标公式或根与系数的关系.
3．弦长公式,.
4．直线与二次曲线的最值问题.
5．直线与二次曲线的定值问题.
[学习指导]
1．关于直线与二次曲线的位置关系,要注意一个特殊情况,即把直线y=kx+m代入二次曲线方程中,得一元二次方程：,Δ是方程根的判别式,那么直线与二次曲线有一个公共点Δ=0或A=0,即有一个公共点包括相切、相交两种情况,其中A=0时,直线与双曲线的渐近线或抛物线的轴平行.
2．“定值”、“最值”问题是数学中的重要内容,因此也是数学高考中的重要题型.
有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过参数取的特殊值来确定“定值”是多少,或者是将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式的值恒定.
解决解析几何中的最值问题,一般是根据条件列出所求目标函数的关系式,然后根据函数关系式的特征选用对称法、参数法、配方法、判别式法,应用不等式性质,以及三角函数最值法和几何方法,求出它的最大值或最小值.
[例题精讲]
例1．已知直线y=x+m和抛物线y=2x2.(1)当实数m为何值时,这两个函数的图象有两个交点？一个交点？没有交点？(2)当m为何值时,直线被抛物线所截得的线段长度为两个单位？
[分析及解]此题(1)显然可以将问题转化为关于一元二次方程的根的个数问题,故联立方程组得0.
∴Δ=1+8m.
当1+8m>0,即时,这两个圆便有两个交点；
当1+8m=0,即时,有一个交点；
当1+8m<0,即时,无交点.
(2)中,若利用弦长距离公式,显然由于存在着参数m,运算一定很繁琐,可考虑由方程组y得,又设它们的两个交点分别为,,由韦达定理得,,.
∵,在y=x+m上,
∴,.
由距离公式,得.
∴即
∴,.
这种解法的最大优点是应用韦达定理减少运算量.
还可考虑利用直线参数方程来解.
∵当时,,又∵在y=x+m中k=1.
∴α=45°,∴直线y=x+m的参数方程为
代入y=2x2整理得.
由弦长公式,得,得.
例2．在椭圆上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求此距离.
[分析及解]此题要借助图表,观察可发现、移动直线l接近椭圆,最先接触的点,即是与直线l平行且与椭圆相切的点,也就是椭圆上到直线l的距离最短的点.
设与l平行的直线方程为3x-2y+b=0,将代入,并整理得.①
由Δ,求得.
画出图形知直线3x-2y-16=0在椭圆的下方,b=8与-8时,两条切线3x-2y+8=0与3x-2y-8=0分别在椭圆的上方和下方,故取b=-8时椭圆上点到直线l距离最短,把b=-8代入方程①,解得.再代入3x-2y-8=0,得,故椭圆上的点()到直线l的距离最短.
最短距离为.
例3．给定双曲线,过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线相交于Q1,Q2两点,且点B是线段Q1Q2中点.这样的直线如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由.
[分析及解]
设Q1,Q2的坐标分别为,,则
①-②得,
∵,,
∴.
当时,.
这时直线m的方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1将y=2x-1代入双曲线方程所得一元二次方程无实根.故满足题设的直线不存在.
例4．设直线l:y=2x+2,求证：直线l被曲线(m为实参数)所截得的线段长为定值.
[分析及解]求定值的问题中,往往先要探求定值.本例中的曲线方程可配方成,故曲线为一椭圆系,其中心(m,2m),在直线y=2x上,长、短轴为定长且平行于坐标轴,曲线中任一椭圆都可由椭圆平移得到,而直线与y=2x平行.故所有椭圆截l得相等线段,可先求出l截,所得线段之长度,将y=2x+2代入中,得,即,或.
∴=.
以l代入方程中,同样方法计算d,可得与m无关的弦长.
(二)网上训练题
A．基础性训练题
1．过点(5,4)作与双曲线只有一个公共点的直线共有( ).
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
2．以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( ).
(A)x2+y2-10x+9=0 (B)x2+y2-10x-9=0
(C)x2+y2+10x-9=0 (D)x2+y2+10x+9=0
3．椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,则椭圆C的方程是( ).
(A) (B)
(C) (D)
4．若过点(1,2)总可作两条直线和圆相切,则实数k的取值范围是( ).
(A)k>2 (B)-32 (D)k<-3
5．AB为过椭圆中心的弦,点F(c,0)为椭圆的右焦点,则ΔAFB的面积最大值是( ).
(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc
6．设双曲线(00)的焦点的一条直线和抛物线交于两点,两个交点的纵坐标分别为y1,y2,求证：.
B．提高性训练题
11．当实数m的取值范围是__________时,直线x-y-2=0与曲线x2-y2=4m的交点P在圆内部.
12．已知实数x,y满足,则的最小值为__________.
13．已知斜率为1的直线,过椭圆=1的右焦点交椭圆于A、B两点,则弦AB的长是____________.
14．直线y=1-x交椭圆于M,N两点,弦MN的中点为P,若,则=____________.
15．直线l在双曲线上截得的弦长为4,其斜率为2,直线l在y轴上的截距m=____________.
16．直线l过抛物线(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a=_________.
17．自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆相切,求光线l所在直线方程.
18．设A(x1,y1)为椭圆上一点,过A作一条斜率为的直线l,又设d为原点到直线l的距离,r1,r2分别为A点到椭圆两焦点的距离,求证：为常数.
19．在双曲线的一支上不同的三点A(x1,y1),B(),C(x2,y2)与焦点F(0,5)的距离成等差数列.
(1)试求y1+y2；
(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点并求该定点坐标.
20．已知抛物线方程,点A、B、P都在抛物线上,点P的坐标为(2,4),直线PA,PB倾角互补.
(1)证明直线AB的斜率为定值；
(2)当直线AB的纵截距大于零时,求ΔPAB的面积的最大值.
C．研究性习题
过点A(8,0)作倾斜角为45°的直线,交抛物线于M,N两点,又作直线BC∥MN交弧MON于B,C两点,设直线BC与MN之间的距离为m,当取最大值时,求m的值.
[解答]
设BC直线方程为y=x-c(02.
5．D．设A、B两点的坐标分别为(),(),则
∴==.
∵点A、B在椭圆,
∴点A(x0,y0)的纵坐标y0的最大值是y0=b.
∴的最大值为bc.
6．A．由已知l：ay+bx-ab=0,原点到l的距离为,则有.
又∴两边平方得,∴,故e=2.
7．设过P点的直线的倾斜角为α,则其方程为.
由中消去y,得,
即,Δ=.
(1)令,又∵0≤α≤π
∴或,即当或直线与圆相切,切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.
(2)令
∴α∈∪(),即当α满足上述条件时,直线与圆相交.
(3)令,则或.
α∈∪()又时,直线与圆相离.
8．设弦的端点A,B的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2),则有 ① ②
①-②得③
又∵P是AB的中点,
∴,代入③得
,
由点斜式可求得直线方程为x-2y-4=0.
9．解方程组得两直线的交点坐标为Q().
双曲线系过点Q,
∴
=,P∈(0,3a)
∵00),得焦点F(),并设过F的直线交抛物线于A(),B().
∵A、B、F三点共线,
∴.
整理得,由条件知,∴.
B．
11．10,∴a=4.
17．∵⊙C：
设光线l所在直线方程为y-1=k(k+3),由题意知k≠0,可是l的反射点为B().
∵光线的λ射角等于反射角,
∴反射线所在的直线方程为.
即kx+y+3(1+k)=0.
由题知这条直线与圆C相切,则有d］@.
那,即.
解得或,代入①整理得直线方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
18．由椭圆方程,可得其焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0).
过A点的直线l方程为整理得.
于是
又
则
=
=.
∴,∴.
19．(1)∵双曲线的半焦距c=5,半实轴,,则A,B,C三点的焦半径分别是
∴,∴.
(2)∵A,C均在双曲线上,
∴,.
上两式作差得
,
∴Q().
AC的中垂线方程为,
即.
∴必过定点(0,).
20．(1)将P(2,4)代入,得k=6,设A(),B().
则
,
又,
∴,
∴,
∴=(定值)
(2)设AB方程为y=2x+b(b>0)
由
∴,
∵AB与抛物线交于两点,
∴
∴0
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