解析几何综合题
(一)网上课堂
[本讲主要内容]
本讲综合题的类型主要有：
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求指定的圆锥曲线的方程；
(3)直线与圆锥曲线的问题；
(4)建系求曲线方程和有关圆锥曲线的对称问题.
[学习指导]
解析几何主要有三部分内容,解综合题时要注意各部分内容的重点及难点.
(1)直线的方程,包括直线方程的形式和直线方程中各元素的几何意义.直线方程中体现的数学思想和方法是解析几何的基础,其难点是直线方程的适用范围,这部分内容在解题时容易疏漏.
(2)圆锥曲线,包括各种圆锥曲线的方程,以及其中所含各元素的几何意义,其难点是利用元素的几何意义使问题得以简化.
(3)直线与直线,直线与圆锥曲线的位置关系,主要包括直线与直线的垂直和平行的判定和应用,直线与圆锥曲线的相切和相交的判定和应用.
解综合题时,要首先掌握各部分内容的基础知识,注意训练计算能力,在此基础上,要注意以数学思想方法为主线,依据每一类问题的特点,明确解决问题的基础思路与基本方法.
[例题精讲]
例1．已知双曲线C：,设该曲线上支的顶点为A,且与直线y=-x交于点P,以A为焦点,M(0,m)为顶点的开口向下的抛物线通过点P,当C的一条渐近线的斜率在区间[]上变化时求直线PM斜率的最大值.
[分析及解]
本题考查双曲线、抛物线和直线的综合知识,以及函数的最值知识和考查分析问题、解决问题的能力.
设直线PM斜率为k,双曲线方程可整理为,其渐近线方程为
∴≤≤
解得：4≤≤9.
双曲线与直线y=-x交于第二象限.
x<0,y>0
联立
解得：.
令x=0代入双曲线C可得A(0,1)
又∵M(0,m)
∴抛物线方程为.
又∵P(-a,a)
∴ ①
∵,
∴m=ak+a.
代入①得：.
∵2≤a≤3
∴2≤≤3.
解得：≤k≤,
∴k的最大值为.
例2．过点A(-1,-6)的直线l与抛物线相交于P、Q两点(P,Q不重合)
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若以PQ为直径的圆过抛物线顶点求直线l的方程及此圆的方程.
[分析及解]
本题考查了直线与抛物线、圆的综合知识对于过点A(-1,-6)的直线l,要注意考虑l⊥x轴的情况,当l⊥x轴时,l与抛物线不相交.
∴设直线l:y=k(x+1)-6,代入消去x得由题意知k≠0,否则l与抛物线只有一个交点.
因此l与抛物线有两个不同交点时
Δ=1-k(k-6)>0,得.
∴直线l斜率范围为()∪(0,).
(2)设所求圆方程,其中P(),Q(),PQ为直线.
∴.
∵圆过坐标原点,
∴.
又,,得或.
在(1)中由韦达定理知
∴可解得或k=6.
当,,,.
∴直线l:.
圆的方程为.
当k=6,,,.
∴直线l：y=6x,圆的方程为.
例3．以直线x+2=0为准线,中心在直线y=2上,离心率为,且过定点M(1,0)的椭圆是否存在？若存在,求出椭圆的方程,若不存在,说明理由,又若将“中心在直线y=2上”改为“中心在直线x=2上”,其它条件不变,本题结论有何变化？
[分析与解]
(1)显然,若椭圆存在,则焦点也在直线y=2上,而点M(1,0)到准线x+2=0的距离为3,由知,M到焦点的距离为,但M到直线y=2的距离为.
因此,这样的焦点是不存在的.即椭圆也不存在.
(2)当中心在直线x=2上时,点不好确定,我们不妨设中心为(2,t)
由,可知,
得b2=3.
设方程为,而M(1,0)在椭圆上,
∴,.
由t值的存在性可知,符合条件的椭圆是存在的,且方程为.
(二)网上能力训练题
A．能力训练部分
1．已知椭圆C的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,且其右焦点到直线的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)试问能否找到一条斜率为k(k≠0)的直线l,使l与椭圆交于两个不同的点M、N,使|AM|=|AN|,并指出k的取值范围.
2．已知椭圆中心在原点,准线为,如果有直线与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的位置,求此椭圆方程并求过左焦点F1与直线平行的弦EF的长.
3．若抛物线和圆有四个交点,则a的取值范围如何？
4．经过抛物线的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点
(1)若AB的中点为M(x,y),直线l的斜率为k,试用k表示点M的坐标；
(2)若直线l的斜率k>2且点M到直线3x+4y+m=0的距离为,试确定m的取值范围.
5．在抛物线的上方,求一个与抛物线相切于原点的半径最大的圆的方程.
6．直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点,是否存在这样的实数a,使A,B两点关于l:x-2y=0对称？若存在,则求出a值；若不存在,请说明理由.
7．已知双曲线的离心率,左、右焦点分别为F1,F2,左准线为l,能否在双曲线左半支上找到一点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的比例中项？
8．椭圆与直线x+y-1=0相交于A、B两点,已知AB的长为,AB的中点C与椭圆中心连线的斜率是,试求a,b的值.
9．已知直线l的方程为,抛物线C1的顶点和椭圆C2的中心都在坐标原点,且它们的焦点均在y轴上.
(1)当m=1时,直线l与抛物线C1只有一个公共点,求抛物线C1的方程；
(2)若椭圆C2的两个焦点和一个顶点组成的三角形面积为8,且当m≠0时,直线l过C2的一个焦点和一个顶点,求椭圆C2的方程.
10．如图,给出定点A(a,0)(a>0,a≠1)和直线l：x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
(2)能力训练题点拨与解答
1．
(1)∵椭圆C的一个顶点A(0,-1).焦点在x轴上,∴b=1.
设椭圆C的右焦点为(c,0),则,求得.
∴,
∴椭圆方程为.
(2)设直线l：y=kx+m满足条件,再设P为MN中点,欲满足题目要求,只要AP⊥MN即可.
将y=kx+m代入椭圆方程得 (*)
设是方程两根,
,
∴,.
∴.
欲使AP⊥MN,
须,
∴.
又∴(*)式中,Δ>0得,
得-10)
∴|OF1|=m,|MF1|=3m,
∵3m+m=2a,
∴a=2m.
∴,m=2
∴,,
∴椭圆方程为.
由EF平行于直线且过F1(),∴EF1直线方程,将其代入椭圆方程得.
设E(),F(),则,,
∴.
3．联立方程组
消去x得,,
∵抛物线与圆有四个交点,
∴此方程判别式,得.
又∵,
∴
及.
∴
∴
∴a<-1,
综上所述,a的取值范围.
4．(1)抛物线的焦点F(1,0),
设l:y=k(x-1)(k≠0)
联立,
消去y得.
∵,
∴l与抛物线交于两点A,B.
设A(),B().
于是.
,
∴M().
(2)∵点M到直线3x+4y+m=0的距离为.
∴,
化简得,.
当时,有,
设,
∵k>2,
∴且f(0)=-2,.
又∵对称轴,且是减函数.
∴.
当时,有,
同理得.
∴m的取值范围：.
5．依题意,设所求圆的方程为.
∵圆在抛物线的上方,
∴b>0且y≥,即≤.
以此代入圆的方程得≥,化简,∵y≥0,
∴y-2b+≥0.
即2b≤y+,
∴2b≤,b≤,
∴b的最大值为３@EMBED Equation.3 ,所求圆的方程为.
6．若A、B关于对称,则直线AB与l垂直,且线段AB的中点在l上,从而a=-2,
由
得
∴,
∴AB中点为(2,-3),不在直线上,
∴实数a不存在.
7．假设双曲线左支上有一点P,使,则.
∵P点在双曲线左支上,
∴,
∴,
∴,
而≥2c,
∴≥2c,
∴≥2c,≥,
∴≤0,≤e≤.
∵e>1,
∴1b>0)
当m≠0时,直线l与坐标轴的交点为(),(-m,0)
∴据题意得,,,
∴ ……①
又∵ ②
∴由①②得,b=2,c=4,
∴,
∴椭圆C2的方程为.
10．依题意,设B(-1,b)(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx,设点C(x,y),则有0≤x1时,方程表示双曲线一支的弧段.
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