曲线的方程
一．选择题：
1．一动圆与圆：和都外切,则动圆圆心的轨迹为( ).
(A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆
2．已知定直线l和l外一定点A,过A且与l相切的圆的圆心轨迹是( ).
(A)抛物线 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)直线
3．与双曲线共渐近线,且与直线x-y+1=0只有一个公共点的双曲线方程是( ).
(A) (B)
(C) (D)
4．已知A、B是抛物线上的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且抛物线焦点恰为ΔAOB的垂心,则直线AB的方程是( ).
(A)x=6 (B)x=5 (C)x=4 (D)x=3
5．过抛物线的焦点,作直线与此抛物线相交于两点P和Q,那么线段PQ的中点的轨迹方程是( ).
(A) (B) (C) (D)
6．圆心在抛物线上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( ).
(A) (B)
(C) (D)
7．若θ∈[0,],则椭圆的中心的轨迹是( ).
8．已知双曲线的中心在原点,且一条渐近线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为( ).
(A) (B)
(C) (D)
9．将椭圆绕其左焦点按逆时针方向旋转90°后所得椭圆方程为( ).
(A) (B)
(C) (D)
10．双曲线C与双曲线关于直线x+y=0对称,双曲线C的方程是( ).
(A) (B)
(C) (D)
二．填空题：
11．已知ΔABC的三边a>b>c,且成等差数列,A,C的坐标分别为
(-1,0),(1,0),则顶点B的轨迹是_________________.
12．已知直线l过点P(2,1),且与坐标轴的正半轴相交所成的三角形面积最小,则直线l的方程为__________________.
13．一直线与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OA⊥OB,且O在线段AB上的射影D的坐标为(2,1),则抛物线的方程为_____________.
14．已知C,F分别是椭圆长轴所在直线上的顶点和焦点,过F作CF的垂线交椭圆于A,B,且,则符合条件的椭圆的标准方程是_____________________(只要求写出一个即可,不必考虑所有可能的情况).
15．过定点M(1,2),且以y轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程为_______________.
16．椭圆C：关于直线l:y=x-3对称的椭圆C’的方程是______________.
17．P点为抛物线上任意一点,抛物线的焦点为F,则分PF成2：3的点M的轨迹方程为__________________.
18．已知A(－7,0),B(7,0),C(2,－12),若一椭圆以C为一个焦点,并过A、B两点,则椭圆另一焦点的轨迹方程是________________.
三．解答题：
19．已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过它的右焦点F2引倾斜角为的直线l交椭圆于M,N两点,M,N两点到椭圆右准线的距离之和为,它的左焦点F1到直线l的距离为,求椭圆的方程.
20．已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆O：,动点M到圆O的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0),求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
21．已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(－1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.
22．在面积为1的ΔPMN中,,,建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.
23．如图1,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等,若ΔAMN为锐角三角形,｜AM｜＝,｜AN｜＝3,且BN＝6,建立适当的坐标系,求曲线C的方程.
点拨与解答:
一．选择题：
1．(C)
设圆的圆心为O,圆＝0的圆心为O1,动圆圆心为P,半径为R,则｜PO｜=R+1,|PO1|=R+2.
∴|PO1|-|PO|=1.
即动圆圆心P到两定点O1,O的距离差为1,其轨迹是双曲线的一支.
2．(A)
依题意,动圆圆心到定点A的距离与到定直线l的距离都等于圆的半径,根据抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是抛物线.
3．(D)
所求双曲线为,
∵双曲线与直线x-y+1=0只有一个公共点,
∴方程组有唯一一组实数解,解得λ=-1,
∴所求双曲线方程为.
4．(B)
抛物线的焦点F(1,0),|OA|=|OB|,根据抛物线的对称性,设A、B的坐标分别为、,,.
∵点F为ΔAOB的垂心,
∴AF⊥OB,即,
∵,
∴.
5．(B)
抛物线的焦点为F(1,0),则过焦点F(1,0)的直线方程为y=k(x-1).
设直线y=k(x-1)与抛物线交于,Q(),PQ的中点为R(x,y),则由消去y,得到,得到,,消去参数k,解得,即为线段PQ的中点的轨迹方程.
6．(D)
抛物线的准线方程为,根据题意设所求圆的圆心为(),则有,解得a=±1.
∴所求圆的圆心为或,半径为1.
∴所求圆的方程为或.
即或,
其中为选项(D).
7．(D)
椭圆即为,其中心为.
∴其中.
∴,,.
8．(D)
根据题意,设所求双曲线方程为.
∴.
∴准线方程为.
解得.
∴所求双曲线方程为.
9．(C)
已知椭圆的左焦点为(-4,0),中心为(0,0),绕(-4,0)逆时针旋转90°后,椭圆中心为(-4,4),一个焦点为(-4,0),其长轴平行于y轴,长轴长,短轴长,焦距均不变,所以所得椭圆方程为.
10．(D)
已知双曲线的中心为(3,2),两个顶点为(0,2)和(6,2),它们关于直线x+y=0的对称点分别为(-2,-3),(-2,0),(-2,-6).其实轴平行于y轴,实轴长,虚轴长,焦距均不变,所以所求双曲线C的方程为.
二．填空题：
11．点B的轨迹方程为,即点B的轨迹是不包括顶点的左半个椭圆.
根据题意知,2b=a+c,又2b=4.
∴|BA|+|BC|=4,
又BC>AB,
∴顶点B的轨迹是以A、C为焦点的左半个椭圆(去掉三个点
(-2,0),(0,),(0,)).
12．x+2y-4=0
设直线l方程为,则,即.
≥4,
当且仅当,即b=2时等号成立,
∴所求直线方程为.
13．
∵,OD⊥AB于D,
∴直线AB的方程为y-1=-2(x-2).
设A(),B(),则由消去x,得到,消去y,得到.
∴,.
∵,
∴,解得.
∴所求抛物线方程为.
14．或满足a=2c的方程.
设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则根据题意知,,CF=a-c,由AB=3CF,得到,又,所以,整理,得,解得a=2c,a=c(不合题意,舍去).
∴满足a=2c的椭圆方程即可作为本题答案.
15．
如图2,设满足条件的椭圆的左顶点为A(x,y),左焦点为F(),则由,得到,解得,即.
又由,得到,
整理得到即为左顶点A的轨迹方程.
16．
设为椭圆C：上的任意一点,关于直线l:y=x-3的对称点为P(x,y),则有,解得.
又在椭圆C上,
∴,即.
17．
设为抛物线上的任意一点,F()为抛物线的焦点,M(x,y)分PF为2：3.
∵,
∴
解得
∵P()在上,
∴,
即.
18．(x≤-1)
设椭圆的另一焦点为C’,则根据椭圆定义知,|AC|+|AC’|=|BC|+|BC’|,
∴|BC’|-|AC’|=|AC|-|BC|=15-13=2.
∴C’点的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的左支,其方程为(x≤-1).
三．解答题:
19．
设所求椭圆方程为,右焦点F2(c,0),直线l的方程为y=x-c,点M(),N()到椭圆右准线的距离分别为d1,d2(如图3).
则由消去y,
得到,
∴,
∵,
∴, ①
∵到直线l:y=x-c的距离为,即,∴c=1.
将c=1,代入①,解得,(舍去),,
∴所求椭圆方程为.
20．当λ=1时,轨迹方程为；当λ≠1时,轨迹方程为.
如图4,设MN切圆O于N,则=λ(λ>0),
设动点M的坐标为(x,y),
则,
整理,得.
当λ=1时,方程化为,动点M的轨迹是垂直于x轴且与x轴交于()点的直线；
当λ≠1时,方程化为,动点M的轨迹是以()为圆心,以为半径的圆.
21．直线l方程为,抛物线C的方程为.
设抛物线C的方程为,直线l的方程为.①
设A’、B’分别为点A、B关于直线l的对称点,则AA’⊥l,BB’⊥l,
∴直线AA’的方程为 ②
由①,②解得直线AA’与直线l的交点M的坐标为,
∴点A’的坐标为().
同理可得点B’的坐标为().
∵点A’、B’均在抛物线C上,
∴
由③得
由④得
∴
解得,.
当时,A’的横坐标为负值,不合题意.
∴.
∴所求直线方程为,所求抛物线方程为.
22．
如图5,建立平面直角坐标系,以M、N所在直线为x轴,以线段MN的垂直平分线为y轴,所求椭圆方程为+(a>b>0).
设M(-c,0),N(c,0),P(x0,y0),
又设∠PNX=α,则,
直线PM：,
直线PN：.
∵点P(x0,y0)在直线PM和直线PN上,
∴,.
由此解得,,
∴点P().
∵,∴,.
∴,
又,
解得,.∴所求椭圆方程为.
23．(1≤x≤4,y>0)
如图6,以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
根据抛物线的定义知,曲线段C是以点N为焦点,l2为准线的抛物线的一段.
设曲线段C的方程为(p>0,y>0,
xA≤x≤xB),其中xA,xB为曲线段C的端点A,B的横坐标.
,,,,
∴
解得或.
∵ΔAMN为锐角三角形,∴,∴P=4,xA=1.
又,
∴曲线C的方程为(1≤x≤4,y>0).
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