圆锥曲线有关的最值问题 一.选择题： 1．设
F
，F
为双曲线
(0<
≤
,b>0)的两个焦点，过F
的直线交双曲线同支于A，B两点，如果
，则
的周长的最大值是（ ）. （A）
（B）
（C）
（D）
2．已知连结双曲线
与
的四个顶点围成的四边形的面积为

，连结其四个焦点围成的四边形面积为
，则
：
的最大值是（ ）. （A）
（B）
（C）
（D）
3．当
时，方程
所表示的圆的圆心轨迹是曲线C，则曲线C上的点到原点距离的最小值是（ ）. （A）2 （B）
（C）
（D）
4．已知点M（1，1），
是椭圆
的左焦点，P是椭圆上任一点，则
+
有最小值，最小值为（ ）. （A）
（B）
（C）
（D）
5．如果实数
，
满足等式
，那么
的最大值是（ ）. （A）
（B）
（C）
（D）
6．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（ ）. （A）
（B）
（C）2 （D）
7．若点A的坐标为(3,2),F为抛物线
的焦点,点P在该抛物线上移动,为使
+
取得最小值,点P的坐标应为( ) (A)（0，0） (B)（1，1） (C)（2，2） (D)（
，1） 8．在圆
上，与直线
距离最小的点的坐标是（ ）. （A）（
） （B）（
） （C）（
） （D）（
） 9．设点A

，F为椭圆
的右焦点，点M在该椭圆上移动，当
+
取最小值时，点M的坐标是（ ）. （A）（0，
） （B）（0，
） （C）（
，
） （D）（
，
） 10．实数x，y满足
，则
的最小值是（ ）. （A）
（B）
（C）-2 （D）-
二．填空题： 11．若直线
将圆
平分，则坐标原点到
的距离的最大值为___________. 12．抛物线
和圆
上最近两点之间的距离为__________. 13. 设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最短距离为
，则椭圆方程为_________________________. 14．平面上有两个点A（-1，0），B（1，0），在圆周
上取一点P，使

+

取得最小值，则点P的坐标为________________. 15.过P（3，0）作圆

的割线，则最长弦所在直线方程为___________________，最短弦所在直线方程为____________________. 16.定长为4的线段AB的两端点在抛物线
上移动，则AB的中点M的纵坐标的最小值为______________. 三．解答题： 17．设一个椭圆的左顶点在抛物线

上，长轴长为4，且以
y轴为左准线，求椭圆离心率的最大值为________________. 18. 已知直线
：
，
：
，其中a≠0，a为常数，k为参数. （1）求直线

与
交点的轨迹，说明是什么曲线，如果是二次曲线，试求出其焦点坐标及离心率. （2）当a>0，y≥1时，求轨迹上的点P（x，y），到点A（0，b）的距离的最小值. 19．已知点A，B，P（2，4）都在抛物线
上，且直线PA，PB的倾斜角互补. （1）证明直线AB的斜率为定值. （2）当直线AB在y轴上截距大于零时，求
的面积的最大值. 20．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线l：
的距离最小的圆的方程. 21．在
平面上给定一曲线
. 设点A的坐标为（
，0），求曲线上距点A最近的点 P之坐标及相应的距离
. （2）设点A的坐标为（a，0），
，求曲线上点到点A距离之最小值d，并写出
的函数表达式. 22．已知椭圆
（a>b>0）,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标. 点拨与解答 一．选择题： 1．（D） 根据双曲线定义知，
=
+
，
=
+
，
的周长为
+
+
=4
+2m≤4+2m（当且仅当
时，等号成立）. 2．（A） 连结双曲线
与
的四个顶点围成的四边形为菱形，其面积为
，连结四个焦点围成的四边形为正方形，其面积 为
，则

≤
（当且仅当a=b时等号成立）. 3．（D） 设圆
的圆心为M（x，y），则
，
，消去参数
，得点M的轨迹C的方程为：
，曲线C为椭圆，其短轴顶点（0，
）到原点的距离为曲线C上的点到原点距离的最小值,其值为
. 4.(B) 椭圆右焦点为
,则
+
=
+
≥
（当且仅当P、M、F
三点共线时，等号成立）. 5．（D）
表示以（2，0）为圆心，以
为半径的圆（如图1）. 设
，则
为直线
的斜率，当直线
与圆A相切于B时，
取得最大值，
，
，
，即
为
的最大值. 6．（D） 设
为椭圆
（a>b>c）上的任意一点，
为两焦点，则
，
， 当
时，
取得最大值
，

≥
（当且仅当
时等号成立）. 7．（C） 设点P到准线的距离为
（如图2）， 则
，当A、P、Q三点 共线时，
最小，此时点P的纵坐标 为2，解得其横坐标为2，即P（2，2）. 8．（A） 设
为圆上一点，其中
，P到直线
的距离为
， 则
. 当
时
取得最小值
. 此时
，
点p为（
）. 9．（C） 设椭圆
的右准线为
到
的距离 为
（如图3）根据椭圆的第二定义知，
∴
∴
当
三点共线时，
取得最小值，此时
的纵坐标为
，解得其横坐标为
，即
10．（A） 设
则

≥
当且仅当
时，等号成立 二.填空题： 11．
∵直线
将圆
平分， ∴直线
过圆心（1，-2） 坐标原点到
的距离的最大值为原点与圆心的距离 12．
设P
为抛物线
上任意一点，C（3，0） 为圆心，PC交
⊙C于Q点（如图4） 当
最小时，
最小
（
≥0）， 当
时，
此时
取得最小值
13．
或
设
为椭圆
（
的 两个焦点，A为长轴一顶点，B为短轴一顶点 （如图5）. 据题意知，
∴
解得
,
,
, ∴所求椭圆方程为
, 若椭圆长轴在
轴，则所求椭圆方程为
. 下面证明
为椭圆上点到焦点
的最短距离 （如图6）. 设
为椭圆上任意一点，则
其中
≤
≤
. ∴
≤
≤
. 即
. 14．
设圆
的参数方程为


，
为圆上任意一点，则
=
≥
. 当且仅当
时，等号成立. 由
，得
， ∴
， ∴
，
， ∴P点坐标为
，即
. 15．
设圆
的圆心为C，则C（4，1）.
， ∴点P在圆内. ∴直线PC截圆所得弦为最长弦，过点P垂直于直线PC的直线
截圆所得弦为最短弦. 直线PC：
， 直线
：
. 16．1 抛物线
的焦点为F（0，1），准线为
设
到准线
的距离为
，则
≥
（当且仅当A、B、F三点共线时取等号）. ∴
≥2， ∴
≥1，即AB中点M的纵坐标的最小值为1. 三．解答题： 17.
设椭圆方程为
，则
，左准线为
，又左准线为
， ∴
，解得
. ∵椭圆的左顶点
在抛物线
上， ∴
≥0， ∴
≤
， ∴
≤
. 即椭圆离心率的最大值为
. 18． （1）由
， 消去参数
，得
.
， （ⅰ）当
时，方程
表示双曲线，其焦点坐标为
，离心率为
. （ⅱ）当
时，方程表示圆. （ⅲ）当
≠-1时，方程表示椭圆. 当
时，焦点坐标为
，离心率为
, 当a<-1时，焦点坐标为（0，
），离心率为
. （2）当
>0，
≥1时，轨迹为双曲线上半平面一支. 设
为轨迹上的任一点，则

≥1，
≥0）. （ⅰ）当
≥1，即
≥
时，

. （ⅱ）当
，即
时，
,
. 19 （1）设
. ∵点
在抛物线
上， ∴
,解得
. ∴抛物线方程为
. 设PA方程为
，则PB的方程为
. 由
, 得
，
， ∴
，即
， ∴
，即
,同理解得
. ∴
为定值. （2）设直线AB方程为
， 由
得
，
，
, 解得
，
，又点P（2，4） 到直线AB的距离
， ∴

≤
. 当且仅当
，即
时，
取得最大值
. 20．首先求满足条件①，②的圆的圆心轨迹方程. 设圆心为
，圆半径为
，则由条件①，② 得DE=1，
为等腰直角三角形（如图7）. ∴
， 消去参数
，得
.
， 即
为圆心C的轨迹方程. 下面求圆心
到直线
的距离的最小值.设C（m,n）到l:x-2y=0的距离为d,则
,
≥


. 当且仅当
时，等号成立，由
，且
，解得
或
时，
取得最小值，此时
.

∴所求圆方程为
或
. 21． （1）设
为曲线上任意一点，则
.
在
上单调递增， ∴当
时，
，曲线上距离A最近的点为（0，0）. （2）设
为曲线上任意一点，则
（
≥0）. 当
≥0，即
≥1时，
在
时最小，此时
，曲线上距A最近的点为
）. 当
，即
<1时，
在
时最小，此时
，曲线上距A最近的点为（0，0）.

，（
≥1），
， （
. 22． 设所求双曲线方程为
. ∵双曲线与椭圆有公共焦点， ∴
. ∴
. 解
， 得到
.
， 则
. 根据椭圆和双曲线的对称性，可知以它们的交点为顶点的四边形是矩形，其面积为
，
≤
. 当且仅当
，即
时，
有最大值
，此时
，
. ∴所求双曲线方程为
，双曲线与椭圆的四个交点坐标分别为
，
，
，
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