曲线的位置关系
一．选择题：
1．两条直线，垂直的充要条件是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
2．如果直线与直线关于直线对称，则（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
3．过抛物线>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为，则等于（ ）.
（A） （B） （C） （D）
4．过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
5．已知两条直线：，：，其中为实数，当这两条直线的夹角在）内变动时，的取值范围是（ ）.
（A）（0，1） （B）（）
（C） （D）
6．设A，B是直线与圆的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
7．圆上到直线的距离为的点共有（ ）.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
8．与圆相切于点A（1，0），并且与直线也相切的圆的方程是（ ）.
（A）
（B）
（C）或
（D）或
9．直线经过点P（1，1）且与双曲线交于A，B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线的方程为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）不存在
10．过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，若，则椭圆的离心率是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：
11．椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为
钝角时，点P横坐标的取值范围是____________________.
12.将直线绕着点（1，0）顺时针旋转，再向上平移1个单
位，这时恰好与圆相切，则圆的半径为_________________.
13.已知两圆：，，又直线
在两圆之间通过且与两圆均无公共点，则的取值范围_________.
14.已知双曲线方程为过点P（1，1）的直线与双曲线只有1
个公共点，则这样的直线共有__________条.
15．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，
则圆心到双曲线中心的距离是________________.
16.已知椭圆与双曲线相交于A，B，C，D
四点，其中A到的两焦点的距离之和为，D到的两焦点距离之差的绝对值为，则的值为_____________.
17.已知椭圆的左，右焦点分别是以为圆心作圆经过椭圆中心，且
与椭圆交于点M，直线与圆相切，则椭圆离心率为_________.
18.已知点P和圆，过点P有条弦的长度恰成等差数
列，若公差，则的取值集合为_________________.
三．解答题：
19．过点M（-1，0）的直线与抛物线交于两点，记线段
的中点为，过点p和这个抛物线的焦点F的直线为的斜率为
试把直线的斜率与直线的斜率之比表示为的函数.
20．设椭圆的中心为原点，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比
为.
（1）求椭圆的方程.
（2）设经过原点且斜率为的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点
P在该直线上，且，当变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
21．在双曲线的一支上不同的三点.
（1）求.
（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.
22．抛物线方程为的交点在抛物线
的准线的右边.
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点.
（2）设直线与抛物线的交点为Q，R，OQOR，求P关于m的函数f(m)
的表达式.
（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，
求此直线的方程.
点拨与解答
1．（A）
当≠0且≠0时，直线=0的斜率为,
∵两直线垂直,
∴≠0，直线的斜率为.
∴，即.
当≠0，时，必有≠0，
∴.
当时，直线化为，此时≠0，要使两直线垂直，直线应为，此时≠0，,
∴.
对于可做同样的分析.
反之，当时，通过讨论可得到两条直线垂直的结论.
2．（A）
直线关于直线对称的直线方程为，即.
此方程应为，即.
∴.
3．（C）
抛物线的焦点为，准线方程为.
直线PQ：
由 得.
,
∴，.
又，.
∴.
本题若从特殊情形考虑，解题过程将相当简捷.设PQ∥轴，则，从而得到.
4．（C）
∵过原点的直线与圆相切于第三象限.
∴直线的斜率大于0，从而排除（B）,（D）.
又圆心（-2，0）到直线的距离为1，即解得.
5．（C）
设直线的夹角为，直线的倾角为，则
，
∴，∴，又≠，
∴.∴.
本题还可利用数形结合解决.
的夹角在内变动，又的倾角为(如图1).
∴
∴.
6.（B）
设的中点为，
由 ， 得
,
则.
∴线段AB的垂直平分线为.
7.（C）
圆的方程可化为圆心（-1，-2）到直线的距离为，而圆的半径为，所以过圆心与直线平行的直线与圆的两个交点满足要求，另外在直线与圆心的另一侧与直线平行相切的切线的切点也满足要求，所以共有三个点.
8.（C）
设所求圆的圆心为 （，0），则半径为，
∵所求圆与直线相切，
∴，
解得或，
∴所求圆方程为或.
9．（D）
设则，
两式相减，得，
即，
∴，
∴直线为：，
而 无解,
∴直线的方程不存在.
10．（C）
如图2，设A，B到椭圆左准线的距离为
则
∵直线AB的倾角为，
∴
∴.
二．填空题：
11．
设点则
∵为钝角，
∴，
即，
解得.
12．
直线 .
∵与圆相切，
∴.
13．（3，5）
如图3，直线与圆相切于A点,B点
则，
解得，
要使直线在两圆之间通过
且与两圆均无公共点，直线应在之间，
∴.
14．4
双曲线的渐近线为，过P点与
双曲线只有1个公共点的直线有四条，其中有两条平行于渐近线与双曲线的右支相交，有两条与双曲线的右支相切（如图4）.
15．
如图5，双曲线的顶点为
，，焦点为.
根据题意知，圆心为线段的垂直平分线与双曲线的交点.
由 或 ， 解得圆心坐标.
∴圆心到双曲线中心的距离为.
16．
∵A，D为椭圆与双曲线的交点，
∴A，D分别为椭圆，双曲线上的点.
∴A到椭圆的两焦点的距离之和为,D到双曲线的两焦点距离之差的绝对值为.
∴.
17．
如图6，椭圆 的焦点
，圆F2过点O，则圆的半径为C，
∴
又，且，
∴，
即，
解得，
∴.
18．
圆方程为，点在圆内，过点的最短弦长为，最长弦长为.
∵条弦的长度成等差数列，
∴
若，则，
∵≤，
∴3≤，解得4≤，4，5，6.
若，则，即小于的最小值3，
∴.
∴的取值集合为.
三．解答题：
19．
设直线的方程为
(如图7).
由 得，
，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴ ≠0，
，
解得.
由方程①知，
设直线的方程为，
∵在直线上，
∴
∴.
∴直线的斜率与直线的斜率之比关于的函数表达式为
.
20．
（1）根据题意，设椭圆方程 .
则 解得
∴所求椭圆方程为.
（2）设点P的坐标为，点Q的坐标为，直线OQ的方程为
.
由 ， 得
∵，又，
∴.
∴ ， 或 ，
， ，
∵，
∴或.
消去参数，得到
.
∴点p的轨迹是抛物线在右侧的部分和抛物线在左侧的部分.
21．
（1）根据双曲线的第二定义知，
,
.
∵
∴
∴.
（2）线段AC的中点为则线段AC的垂直平分线的方程为
.
∵A，C在双曲线上，
∴，
∴，
∴
∴,
∴，
此直线过定点.
22．
（1）抛物线的准线方程为，直线与轴的交点为（m，0），
∴，即.
由 得
，
.
∴直线与抛物线总有两个交点.
（2）设Q，R两点的坐标为则.
∵
∴
即，
整理得，
∴，
∴.
（3）的焦点F的坐标为
则
∴
又
∴.
解得.
∵又≠0，
∴.
∴直线的方程为
即.
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