寒假作业(二)
一．选择题:
1．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为( )
A． B． C． D．
2．过定点A(0,a),且在x轴上截得弦长为2a的动圆圆心的轨迹方程是( )
A．x2+(y-a)2=a2 B．y2=2ax
C．(x-a)2+y2=a2 D．x2=2ay
3．若直线L：y-1=k(x-1)能垂直平分抛物线y2=x的某弦,则k的取值范围是( )
A．(-2,0) B．(0,1)
C．(,3) D．不存在
4．圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都有相切的一个圆的方程是( )
A．x2+y2-x-2y-=0
B．x2+y2+x-2y+1=0
C．x2+y2-x-2y+1=0
D．x2+y2-x-2y+=0
5．设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足
∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( )
A．1 B． C．2 D．
6．已知P(-2,-2),Q(0,-1),取一点R(2,m),使|PR|+|RQ|最小,则m的值为( )
A． B． C．-1 D．0
7．椭圆的焦点为F1和F2,P为椭圆上一点,且线段PF1的中点在y轴上,则|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
8．设θ为三角形的一个内角,且,则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．长轴在x轴上的椭圆
D．长轴在y轴上的椭圆
9．已知集合P={(x,y)|y=}和Q={(x,y)|y=x+b},若P∩Q不是空集,则b的取值范围是( )
A．|b|<3 B．|b|
C．-30),那么l2的方程为________.
17．当时,方程2x2+2y2-xcosθ+ysinθ=0所表示的圆的圆心轨迹是曲线C,则曲线C上的点到原点的距离的最小值是______.
18．抛物线y2=8-4x,则圆心在抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程为______.
19．一条直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于P,Q两点,过P,Q分别向准线引垂线PR,QS,垂足为R,S,如果|PF|=a,|QF|=b,M为RS的中点,则|MF|=______.
20．直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若L被抛物线截得的线段长为4,则a=____.
21．集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是______.
22．椭圆的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围是______.
三．解答题:
23．过点P(-4,2)的直线l与圆x2+y2=25交于A,B两点.
(1)如果AB恰以P为中点,求l的方程；
(2)如果|AB|=6,求l的方程.
24．已知椭圆的中心在坐标原点O上,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆的方程.
25．过椭圆3x2+4y2-12=0的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2为右焦点,连AF2,BF2,求|AF2|·|BF2|的最大值和最小值.
26．已知双曲线(a>0,b>0),其半焦距为C,在它的两条渐近线上分别取点A和点B,O是坐标原点,满足|OA|·|OB|=2C2,求AB中点M的轨迹方程,并说明曲线的形状.
27．已知椭圆(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),证明.
28．已知抛物线y2=2px(p>0),求证：在x轴上存在一点M,使过M的弦p1p2总满足∠p1Op2=90°(O为坐标原点)
29．设M(a,),N(b,),(a≠b)是曲线c:xy=1上的两点,直线l:y=2x+k与MN垂直.
(1)求证：ab=2；
(2)若M,N关于l对称,用k表示a+b；
(3)如果曲线C上,存在关于l对称的两点,求k的范围.
30．已知二次函数y=f(x)在处取得最小值,f(1)=0
(1)求y=f(x)的表达式；
(2)若任意实数x都满足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1(g(x)为多项式,n∈N*),试用t表示an和bn;
(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,……),{rn}是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn,Sn.
点拨与解答:
一．选择题:
1．C
圆心O(0,0)到直线的距离,则
,∴，.
2．D
设动圆圆心坐标为(m,n),半径为r,则(x-m)2+(y-n)2=r2,令y=0,得
x2-2mx+(m2+n2-r2)=0
∴|x1-x2|==2a
整理得r2-n2=a2
又r2=m2+(n-a)2,
∴m2+(n-a)2-n2=a2,
即m2=2an
∴动圆圆心的轨迹方程是x2=2ay.
3．A
设抛物线y2=x的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则y12=x1,y22=x2,
∴,即k=-(y1+y2)=-2y0
又y0-1=k(x0-1),
∴
∵点(x0,y0)在y2=x内部,即y020,cosθ<0,且|sinθ|>|cosθ|
∴x2sinθ-y2cosθ=1,即表示焦点在y轴上的椭圆
9．D
如图1,要使P∩Q≠φ,直线y=x+b应在l1,l2及其内部位置,
∴
10．C
直线l的方程为,
∴,
∴ab=,
∴
∴,
解此方程得,,
∴或,
∵b>a>0,
∴e=2
11．D
∵kMN=,直线4x+2y-1=0的斜率为-2,
∴直线MN⊥直线4x+2y-1=0
又MN的中点(,0)不在直线4x+2y-1=0上,
∴4x+2y-1=0上不存在点P使|PM|=|PN|
从而排除A、C
在上取一点P(,sinθ),θ∈[0,2π)
∵|MP|=|NP|,
∴(cosθ-1)2+(sinθ-)2=(cosθ+4)2+(sinθ+)2,
∴cosθ+sinθ=-3,
即sin(θ+φ)=-1,显然使此式成立的θ是存在的,故选D
12．D
∵lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,
∴sin2B=sinA·sinC,
∴xsin2B+ysinC=C,即xsinA·sinC+ysinC=C,
∴xsinA+y=,即xsinA+y=,
∴xsin2A+ysinA=a,
∴两直线重合.
13．D
设P(x1,y2)、Q(x2,y2)、M(x0,y0),则
3x12+y12=3,3x22+y22=3
两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴3x0(x1-x2)+y0(y1-y2)=0
∴,即kPQ·kOM=-3
14．B
设椭圆方程为
令x=-c,得
∴|PF1|=
∴
∵|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|,
∴a2=c·2b
∴c2+b2-2bc=0,
∴b=c=
∴
二．填空题:
15．(4,2)
设P(x,y),由定比分点公式
则P(2,1),又由中点坐标公式,得B(4,2)
16．bx+ay+c=0
∵夹角平分线为y=x,
∴l1与l2关于直线y=x对称,其方程为bx+ay+c=0
17．
将方程2x2+2y2-cosθ+ysinθ=0整理得,
2(x-cosθ)2+2(y+sinθ)2=+cos2θ
则曲线C上的点(cosθ,sinθ)到原点的距离
18．(x-2)2+y2=1
抛物线y2=8-4x的顶点为(2,0),即圆心为(2,0),又,
∴半径r=1
∴圆的方程为(x-2)2+y2=1
19．
如图2,连结RF,SF,作QE⊥RP于E,易证∠RFS=90°,
∵M为RS的中点,
∴|MF|=|RS|=|EQ|=
20．4
抛物线的焦点坐标为F(,0),
∵L被抛物线截得的线段长为4
∴抛物线过点A(,2),
∴4=a(),解得a=±4,
∵a>0,
∴a=4
21．3或7
∵A∩B中有且仅有一个元素,
∴圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2内切或外切,
当两圆外切时,r=3,两圆内切时,r=7
22．
|PF1|=a-ex=3-,|PF2|=3+,
由余弦定理,cos0),
∴设p1(,y1),p2(,y2),
要使∠P1OP2=90°,需,
即y1y2=-4p2,
若p1p2不垂直于x轴,则p1p2的方程为,
即,
令y=0,得到M点的横坐标为
∴M(2p,0)为定点
若p1p2⊥x轴,则y1=-y2,
又y1y2=-4p2,
∴y1=2p,y2=-2p,代入y2=2px得x=2p,符合题意,
∴在x轴上总存在点M(2p,0)符合题意.
29．
(1)根据题意知kMN=,即,解得ab=2.
(2)MN的中点为()即()
∵M、N关于l对称,
∴点()在直线l上,
即,解得
∴
(3)设(s,),(t,)为C上关于l对称的两点,由(2)知,由(1)知st=2,
∴,
∴|s+t|=|t+|=,
∴s+t>或s+t<-
即k<-或k>
30．
(1)设,
∵f(1)=0
∴
解得a=1,
∴f(x)=x2-(t+2)x+(t+1)
(2)f(x)=(x-1)[x-(t+1)],又f(x)g(x)+anx+bn=xn+1
∴(x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,
将x=1,x=t+1代入上式得,
∵t>0, ∴
(3)
∵an+bn=1,
∴圆Cn的圆心Cn在直线x+y=1上,
∴|CnCn+1|=,
∵圆Cn与圆Cn+1外切,
∴rn+rn+1=|an+1-an|=(t+1)n+1
设{rn}的公比为q,则
②÷①得q=t+1
∴
.
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