平面的基本性质 主讲人：张英群 [基础知识] 平面的表示 平面 平面的基本性质 [学习指导] 1．能画出一个完整的平面吗？ 不能.几何中的平面是具有无限延展性的，即没有边界，没有大小、宽窄、薄厚之分.平面通常画成平行四边形，这只是表示平面的一部分. 2．平面的基本性质的作用是什么？ 公理1的作用：①用来判断直线是否在平面内；②说明平面是无限延展的. 公理2的作用：①用来证明两个平面是相交的关系；②证明点在直线上，即两个平面的公共点在这两个平面的公共直线上；③证明点共线的依据，若干个点都是两个平面的公共点，则它们都在两个平面的交线上，即这些点共线. 公理3及推论的作用：①证明平面的唯一性或若干平面重合；②根据公理3及推论构造辅助平面. 3．平面几何中的定理在立体几何中仍然适用吗？ 不一定.过去学过的平面几何中的定理都是在“在同一平面内”这一前提条件下的，也就是说定理中图形都是平面图形.而立体几何中使用这些定理时，就要注意它们的前提条件，以判断是否成立.如空间中“若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行”和“若两条直线都平行于同一条直线，则这两条直线平行”，这两个结论前者是错误的，后者是成立的.所以， 在立体几何中应用平面几何定理时，要先判断一下针对的是否是平面图形.在判断时，有时要利用平面的基本性质. [例题精析] 例1．如图，已知直线l和三条平行直线
分别相交于 A，B，C，求证：l,
四条直线共面. [分析]给出四条直线中任何两条均可确定平面，再证明另外两条直线也在这一平面内, [证明]∵
∥
∴
可确定平面
, ∵
∴
. ∵
∥
, ∴
而
∴
∴
. [解题后的点拨] （1）此题在证明过程中运用了证明直线共面的两种基本方法①两点法：先作一个平面，再证直线上有两个点在此平面内，如此题中证
；②辅助平面法：分别过某些点和直线作多个平面，再证明这些平面重合. （2）本题的结论可以推广：与一条直线都相交的所有平行直线都共面. 例2．已知：△ABC在平面
外，它的三边所在直线分别交平面
于D，E，F，求证D，E，F三点共线. [证明]∵AB，BC，AC
平面ABC，而AB∩
=D，BC∩
=E，AC∩
=F； ∴D，E，F是平面ABC与
的公共点. ∴D，E，F点都在平面ABC与
的交线上，即D，E，F三点共线. [解题后的点拨] 在立体几何中证明诸点共线的常用方法是证明这些点是某两个平面的公共点. 例3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AB中点，F为AA1中点，求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点. [分析] （1）可证明E，F，C，D1所在两条直线EF，CD1互相平行. （2）容易证明D1F与CE相交，进一步只要证明其交点在直线DA上即可. [证明] （1）分别连结EF，A1B，CD1， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B. ∵A1B∥CD1, ∴EF∥CD1. ∴EF，CD1确定平面
. ∴E，F，C，D1四点共面. （2）∵EF∥CD1，且EF=
CD1 ∴分别连结D1F，CE，并延长必交于一点P. ∵
∴
. ∵
, ∴
. ∵
∴
. ∴CE，D1F，AD三线共点. [解题后的点拨] 空间诸点共面问题，可构造一个平面，证明点在平面内.空间的三线共点问题，可将其中某线视为两平面的交线，另两直线的交点为两平面公共点，因而在两个平面交线上. [巩固提高] （一）选择题 1．下列命题，正确的是（ ） （A）∵
∴
（B）∵
∴
∩
（C）∵
∴
（D）∵
∴
2．A，B，C为空间三点，经过这三点（ ） （A）能确定一个平面 （B）能确定无数个平面 （C）能确定一个或无数个平面 （D）能确定一个平面或不能确定平面 3．一直线和直线外不在同一直线上的三点所确定的过该直线的平面有（ ） （A） 1 个 （B） 2 个 （C） 3 个 （D） 至多3 个 4．给出下述六个命题： （1）三点确定一个平面 （2）一直线与一个点确定一个平面； （3）互相平行的三条直线确定一个平面； （4）两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； （5）空间中两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （6）空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 其中正确命题的个数有（ ）. 　　（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）4个 5．已知命题“直线l上两点A，B在平面
内”，那么与此命题不等价的命题是（ ） （A）l
（B）平面
过直线l （C）直线l上只有这两个点在
内 （D）直线l上所有的点都在
内 6．设E，F，G，H为空间四点，命题甲：点E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，那么（ ） （A）甲是乙的充分但不必要条件 （B）甲是乙的必要但不充分条件 （C）甲是乙的充分必要条件 （D）甲不是乙的充分条件，也不是必要条件 （二）填空题： 7．平面
相交，
内各取两点，这四点都不在交线上，这四个点能确定____________个平面. 8．一个平面可以把空间分成________部分，两个平面可以把空间分成_______ 部分，三个平面最多可以把空间分成___________部分. 9．空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_____________，则它们在同一平面内. 10．
若直线EH和FG相交于P，则点P必在直线__________上. 11．如果三条直线a、b、c两两平行，则与这三条直线距离相等的平面有_________个. （三）解答题： 12．直线l和过O点的四条直线
都相交，求证：这五条直线在同一平面内. 13．已知：ABCD是空间四边形，平面四边形EFGH的顶点分别在AB，BC，CD，AD上，且直线EH和直线FG相交于K.求证：K
BD 14．正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C和平面BDC1，交于O点，AC，BD交于M点，求证：点C1，O，M共线. 15．如图1-6，四面体ABCD中，E、G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=2:3，DH:HA=2:3,求证：EF，GH，BD交于一点. 16．已知直线a,b,c，其中b、c为异面直线，试就a与b，c的不同位置关系，讨论可以确定平面的情况. [自我反馈] （一）选择题 1．选D.在A，C中，
应改为
；在B中，PQ不一定是
的交线. 2．选D.如果这三点不在一条直线上，则可确定一个平面；如果这三点在一条直线，则不能确定平面. 3．选D.如图1-7所示 4．选B.只有（5）正确，应选B. 5．选C.根据公理1，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内”，即“这条直线在平面内”. 6．选A 因为直线EF和GH不相交，可以是EF∥GH，则E，F，G，H共面. （二）填空题： 7．填一个或四个.如果这四个点在一个平面内，那么确定一个平面；如果这四个点不在同一平面内，那么可确定四个平面. 8．填2，3或4，8.如图示1-8 9．填相交或平行.根据推论2或推论3. 10．填BD.∵
∴
，
∩
∴
. 11．填3或无数. （三）解答题： 12．证明：过相交直线
∵
∴
。 又∵
， 由公理1，得直线
. 又∵
∴
即直线l与过Ｏ点的
直线在同一平面M内. 13．证明：如图 ∵EH∩
∴
. ∵
, ∴
. 同理，
又∵
, ∴
. 14．证明：∵AA1∥CC1 ∴过AA1、CC1确定平面A1C. ∵
∴
. 又∵
, ∴
. ∵
. ∴
. ∴
∴
. 15．证明：连结EG，EF, ∵E、G分别是BC、AB的中点, ∴GE∥AC. 又∵DF：FC=2：3，DH：HA=2：3, ∴HF∥AC, ∴GE∥HF，故G、E、F、H四点共面. 又∵EF与GH不平行, ∴EF与GH相交，设交点为O, ∴O∈面ABD，O∈面BCD, ∴O在平面ABD和平面BCD的交线上， ∴EF、GH、BD交于一点. 16．解： （1）若a与b,c都相交，a与b,a与c都能确定平面，故可确定两个平面. （2）若a与b,c之一相交，不妨设a与b相交 （I）a∥c，a与b，a与c都可确定平面，故可确定两个平面; （II）a与c不平行，只a与b确定平面，故可确定一个平面. （3）若a与b，c都不相交 （I）若a与b，c之一平行，不妨设a与b平行，只a与b可确定平面，故确定一个平面； （Ⅱ）若a与b,c都不平行，又因都不相交，故不能确定平面. [超1]：平面通常画成平行四边形，有时根据需要用三角形、封闭曲线图形等表示.平面通常用一个希腊字母
等来表示，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示. [超2]：平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，即三个公理和公理3的三个推论. 公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3：经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

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