直线与平面平行的判定和性质
主讲人：张英群
[基础知识]
直线与平面 直线与平面的位置关系
直线在平面内
直线在平面外 直线和平面相交
直线和平面平行
定义
判定定理
性质定理
[学习指导]
1．如何深刻理解直线与平面的三种位置关系？直线不和平面平行就一定相交吗？
直线和平面有三种位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交，为进一步深刻理解这三种位置关系，我们可以按两种不同的分类标准采用二分法（把研究的对象分成互不相容的两类，每个对象都属于其中一类且仅属于这一类）进行分类，即
直线在平面内
① 直线和平面相交
直线不在平面内
直线和平面平行
直线和平面平行
② 直线和平面相交
所以，直线不和平面平行不一定就是相交，应包括直线和平面相交，直线在平面内两种情况.
2．“一条直线和一个平面内的一条直线平行，则这条直线和平面平行”对吗？为什么？
不对.
为判定一条直线和平面平行，根据定义推证了判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
用这个定理来判定直线l∥平面时，必须符合定理中的三个条件：
直线l在平面外（l）；
直线a在平面内（a）；
直线l平行于直线 a（l∥a）.
这三个条件缺一不可，如缺条件（1）时直线l不一定和平面平行，它们的位置关系有两种：直线l在平面内，直线l平行于平面.
3．运用反证法“怎样才算归结到谬误，导出矛盾”呢？
运用反证法证题中从“假设出发，推理导出矛盾”通常有以下几种不同途径：
导出结果与所作假设矛盾；
导出结果与已知条件矛盾；
导出结果与已知公理、定义、定理相矛盾；
导出结果之间互相矛盾.
4．至此为止，已学习了哪些证明“平行”的定理?证明“平行”的常用思维方法是什么？
空间两条直线平行的判定：
①平行于同一直线的两条直线平行；
②直线和平面平行的性质定理：若一直线平行于一个平面，过该直线的平面与已知平面相交，则该直线与其交线平行（线面平行，则线线平行）.
直线与平面平行的判定：
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与平面内一条直线，则该直线与这个平面平行（线线平行，则线面平行）.
证明“平行”常用的思维方法，就是“线线平行”与“线面平行”的相互转化，即
直线和平面平行的判定定理
线线平行 线面平行
直线和平面平行的性质定理
[例题精析]
例 1.经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面和另一条直线平行.
已知：a，b是异面直线.
求证：经过b有一个平面并且只有一个平面和a平行.
[分析]此题需分二步证明,一先由线线平行得出经过b有一个平面和a平行；二再证明唯一性.
[证明]如图3-1，在b上任取一点A，经过A作直线a’∥a，
∵a’和b是相交直线，
∴a’，b可确定一个平面.
∵a∥a’，
∴a∥平面.
∴经过b有一个平面和a平行；
再证明经过b且与a平行的平面只有一个.
如果平面经过直线b且与直线a平行的平面，那么经过直线b上一点A和直线a可以确定一个平面和平面的交线与a平行.
∵经过点A只能有直线a的一条平行线，
∴这条交线就是a’.
∴平面必定是直线b和a’所确定的平面，平面和平面重合，
∴经过b只有一个平面和直线a平行.
[解题后的点拨]
本题证明唯一性的方法叫做同一法，它是一种间接证法.
同一法常用于证明图形具有某种性质，它的一般步骤为：
作图 作出符合命题结论的图形;
合一 利用唯一性的公理、定理，证明所作的图形与已知图形相重合；
判断 断定原来命题结论的正确性.
例 2.如图3-2，P是平行四边形ABCD外一点，O为AC和BD的交点，E、F分别是PB、PC的中点.试判断OE、OF、EF分别与哪些平面平行，并加以证明.
[分析]因O，E，F均是线段的中点，由三角形中位线定理可得两线平行，进而推得线面平行.
[解]（1）OE∥平面PAD， OE∥平面PCD.
∵AC，BD是?ABCD的对角线，
∴BO=DO.
∵PE=BE，
∴OE∥PD.
∵PD平面PAD，PD平面PCD，OE平面PAD，OE平面PCD，
∴OE∥平面PAD，OE∥平面PCD.
（2）OF∥平面PAB，OF∥平面PAD.
∵AC，BD是?ABCD的对角线，
∴AO=CO.
又∵PF=CF，
∴OF∥PA.
∵PA平面PAB，PA平面PAC，OF平面PAB，OF平面PAD，
∴OF∥平面PAB，OF∥平面PAD.
EF∥平面ABCD,EF∥平面PAD.
（3）∵PE=BE，PF=CF，
∴EF∥BC，
∵BC∥AD，
∴EF∥AD.
∵BC平面ABCD，AD平面PAD，EF平面ABCD，EF平面PAD，
∴EF∥平面ABCD，EF∥平面PAD.
[解题后的点拨]
在使用直线和平面平行的判定定理时，需注意下述两点：
平面外的一条直线一定要平行于平面内的一条直线；
平面内的一条直线可以是任意的，只要能在平面内找一条与平面外一条直线平行，就可以证明平面外一条直线与平面平行.
例 3. 如图 3-3，已知直线a∥平面M，直线a∥平面N，M∩N=b.求证：a∥b.
[分析]由已知的线面平行可得线线平行，进而证明a∥b.
[证明]在平面M内任选一点A，在图3-3平面N内任选一点B，则由a与A，a与B可以分别确定平面，.
设平面∩平面M=c，平面∩平面N=d.
∵a∥平面M，a∥平面N，
∴a∥c,a∥d,
∴c∥d.
∵c平面M，
∴d∥平面M.
∵ 平面M∩平面N=b，b平面M,
∴d∥b.
∵a∥d,
∴a∥b.
[解题后的点拨]
本题可以归纳如下结论：如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行.
[巩固提高]
选择题
1．直线a⊥b，a∥平面，则b与平面的位置关系为（ ）.
（A）b⊥a （B）b∥
（C）b （D）都有可能
2．如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ）.
（A）平行 （B）相交
（C）相交或平行 （D）以上都不对
3．在下列说法中
（1）若直线a∥b，b平面，则a∥；
（2）若直线a∥，b，则有a∥b；
（3）若直线a∥b，直线a∥，则b∥；
（4）若直线a∥，b∥，则有a∥b.
其中正确的是（ ）
（A）（1）（4） （B）（1）（3）
（C）（2） （D）均不正确
4．若一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线（ ）
必与该平面无公共点；
必与该平面不相交；
必不在该平面内；
该直线与这平面平行.
5．下列命题正确的是（ ）
(A)过一点作一直线的平行平面有无数多个；
(B)过平面外一点，作一平面的平行直线有无数多条；
(C)过一点作一直线的平行直线有无数条；
(D)过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行.
6.直线是平面的斜线,,当与成的角,且与在内的射
影成角时,与所成的角是( )
(A) (B) (C) (D)
填空题
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图3-4：
（1）平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线和棱AA1的位置关系是 ；
（2）截面B1AC和A1D的位置关系是 .
8．A是两异面直线a，b外的一点，过A可作 个平面同时与a, b平行.
9．如图3-5，a∥,A是的另一侧的点，B，C，Da，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG= .
10从平面外一点P向平面M引两条斜线PA,PB,A,B为斜足,如果PA,PB与平面M所成的角分别是,则 .
11.在ΔABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G是重心,过G的平面与BC平行,AB∩=M,AC∩=N,MN= .
(三)解答题:
12.设a，b是异面直线，AB是a，b的公垂线，
过AB的中点O作平面与a，b分别平行，M，N分
别是a，b上的任意两点，MN与交于点P.求证：
P是MN的中点.
13.已知∥,a∥,求证:∥
14．如图3-6长方体ABCD-A?B?C?D?中，点PB?（不与BB?重合），PA∩BA?=M，
PC∩BC’=N，求证：MN∥平面ABCD.
15．如图3-7，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN.求证：MN∥平面BCE.
16.如图3-8,是异面直线,是的公垂线,垂足分别是平面过的中点且与都平行,分别是上的点,交平面于.
(1)求证:
(2)若,,问等于何值时,的长为5.
[自我反馈]
选择题
1．D.如图依次为b⊥a，b∥，b三种情况.
2．C.如图所示：
3．D.（1）结论为“a∥或a”；（2）a与b的位置关系为平行、异面或相交；（3）结论为“b∥或b”；（4）a与b的位置关系为平行、异面或相交.
4．B.无公共点是指线面平行；不相交是指线面平行或线在面内.
5．B.A错，点不在线上；C错，点在线外；D错，有可能经过另一条直线.
6. B.
如图3-10,于,于B,连结则∵
设即为与所成的角,
填空题
7．（1）平行.因为AA1平行于BB1，所以AA1∥平面BB1DD，从而AA1平行于平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线；（2）平行.因为A1D∥B1C，所以A1D∥平面B1AC.
8. 一个或没有.因为过A点分别作a，b的平行线只能作一条（分别称为a’,b’），经过a’，b’的平面也是唯一的，所以只能作一个平面，还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了.
9．.∵a∥，EG=∩平面ABD.∴a∥EG.
∴，则EG=
10.
如图3-11,作为垂足,则
在中,,
在中,
则
11..根据余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠A=39，∴BC=.
∵BC∥，MN=∩平面ABC，
∴MN∥BC.
∵G是ΔABC的重心，
∴
∴MN=.
（三）解答题
12．连结AN交平面于Q，连结OQ，PQ，
∵b∥，OQ是过b的平面ABN与平面的交线.
∴OQ∥b，
同理PQ∥.
在ΔABN中，O是AB的中点，OQ∥BN,
∴Q是AN的中点,
同理：P是MN的中点.
13.证明：过作平面交平面于
∵∥
∴∥， 同理过作平面交平面于
∵∥
∴∥ ∴∥
∵
∴∥，又平面经过交于
∴∥
∴∥ ∴∥
14．连AC、A?C?，
∵ABCD- A?B?C?D?是长方体
∴AC∥A?C?，AC在平面BA?C?外，A?C?在平面BA?C?内,
∵AC∥平面BA?C?，且平面PAC经过AC与平面BA?C?交于MN，
∴MN∥AC.
∵MN在平面ABCD外，AC在平面ABCD内
∴MN∥平面ABCD.
15.设两个正方形边长为a，AM=FN=x，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P，Q为垂足，
∴MP∥AB，NQ∥AB，
∴MP∥NQ.
∵NQ=
∴ ，即MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ，PQ平面BCE，MN平面BCE.
∴MN∥平面BCE.
16．证明：
(1)证明:连交于连
∵∥,平面
∴平面
∴∥由得
同理∥由得
(2)由(1)知即是与所成的角,
由知
∴ 又
∴ ∴
[解释 1]如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行.
[解释 2]如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
[解释 3]如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
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