直线与平面垂直的判定和性质
主讲人：张英群
[基础知识]
定义
直线和平面垂直 判定
性质
若干概念
平面的斜线 直线和平面所成的角
三垂线定理(逆定理)
[学习指导]
1．如何画直线和平面垂直？
见书P23，如图4-1
2．你知道关于线面垂直的两个唯一性结论吗？
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，过一点有且只有一个平面和已
知直线垂直.
3．如果一条直线上有两点和一个平面的距离相等，这条直线和平面的位置关系怎样？
如果一条直线和一个平面平行，这条直线上各点到这个平面的距离相等，那么反过来，结论是否成立呢？显然不一定，如图4-2
4．如果两条直线和一个平面所成的锐角相等，那么这两条直线的位置关系如何？
如果两条直线平行，则它们和同一个平面所成的角相等.但是反过来，结论就不一定成立，如图4-3,且均为锐角
所以两条直线的位置关系有三种：相交，异面或平行.
5．如何理解和运用三垂线定理及其逆定理?
这两个定理都是研究直线和直线垂直关系的.所谓“三垂”是指三个垂直关系，如图4-4A为垂足.
PO是的斜线，O为斜足 则有AO⊥a PO⊥a
要善于识别变式图形中定理所确定的直线和直线的垂直关系.首先要把一条直线看成是某一平面内的直线，另一条直线是这个平面的斜线或是某一条斜线在平面内的射影；其次是确定斜线上某一点所引的这个平面垂线和垂足；最后按定理条件得出两条直线的互相垂直.
三垂线定理及其逆定理沟通线线、线面垂直间的关系，是立体几何中极其重要的定理.
[例题精析]
例1.如图4-5，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平
面交SB、SC、SD分别于点E、F、G.求证：AE⊥SB.
[分析]要证线线垂直，常把一条直线放在一个平面内证另一条直线垂直于这个平面，则垂直于这条直线，即要证线线垂直，去找线面垂直.
[证明]∵SA⊥平面ABCD,BC面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，且ABSA=A，
∴BC⊥面SAB，AE面SAB，
∴BC⊥AE.
∵SC⊥面AEFG，AE面AEFG，
∴SC⊥AE，且BCSC=C，
∴AE⊥面SBC，SB面SBC，
∴AE⊥SB.
[解题后的点拨]线线垂直和线面垂直的关系十分密切，常常在做题中互为题设互为结论，有如下关系： 定义
线面垂直 线线垂直
判定定理
例2.如图4-6，正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为a，侧面BCC1B1的中心是M，求：(1)DM与AD1所成的角；(2)DB与A1C的距离；(3)A1B与对角面BB1D1D所成的角；
[分析]本题求异面直线所成的角、距离、线面成角，先根据定义作出、证出所求的角或距离，再求值.
[解](1)∵AD1//BC1,
∴DM与AD1所成的角是DM与BC1
所成的角，
∵DC⊥平面BC1,DM是面BC1的斜
线，MC是DM在面BC1的射影，
又∵ BC1⊥MC
∴BC1⊥DM（三垂线定理）.
∴DM与AD1所成的角是直角.
(2)连结AC,BD AC=O,过O作OH
⊥AC,垂足为H.
∵BD⊥AC,AA1⊥BD,
∴BD⊥面A1AC,
∵OH 面A1AC,
∴BD⊥OH,且BD OH=0
∵OH⊥A1C,且OH A1C=H
∴OH是BD和A1C的公垂线
∵∽
∴OH=.
(3)连结A1C,A1C1B1D1=O1,连结BO1
∵BB 1⊥面A1C1,
∴A1C1⊥BB1,
∵A1C1⊥B1D1
∴A1C1⊥面BB1D1D，垂足为O1,
则BO1为斜线A1B在面BD1的射影.
∴∠A1BO1为斜线A1B与平面BB1D1D所成的角..
∴∠A1BO1=.
[解题后的点拨]本题中的(1),(2),(3)都比较有代表性，可利用三垂线定理或逆定理证两条异面直线垂直.
如果两条异面直线垂直，可找过其中一条异面直线与另一条直线垂直的平面，在这个平面内过直线与平面的交点作另一条的垂线，利用线面垂直的定义的性质意义，得到两条异面直线的公垂线.
在求斜线和平面所成的角时，首先要在图中找出或作出平面的垂线，其次
找出过平面外同一点的斜线在平面内的射影，最后由斜线和射影所成的锐角确定线面成角.一定要遵照这样三步进行：垂线→射影→锐角，才能万无一失.
例3.（91高考理）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离，如图4-7.
[分析]求点到平面的距离，可转化为平行线面的距离.
[解]连结AC、BD，ACBD=O，ACEF=O′连结GO′，过O作OK⊥GO′.
∵EF//BD,
∴BD//平面EFG,点B到平面EFG的距离等于O点到平面EFG的距离.
∵GC⊥平面ABCD,
∴GC⊥EF,
∵EF⊥AC,
∴EF⊥面GCO′,OK面GCO′
∴EF⊥OK，OK⊥GO′，
∴OK⊥面EFG,OK为O点到面EFG的距离，
∵△O′OK∽△O′GO. O′=
∴.
∴B点到平面EFG的距离为.
[解题后的点拨]求点到平面的距离,关键是确定垂足,根据平行于平面的直线上的点到平面的距离处处相等,可以转化为线面间距离.本题在同学们学完了面面垂直及等体积法求点到平面距离,会有更简便的解法.
例4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，求异面直线BD1的中点，求异面直线BD1和C1E的距离.
[分析]在第二讲中，我们曾给同学们列举了一些求异面直线距离的方法，其中一种是将其转化为平行线面的距离.
[解]连结A1C1,B1D1,A1E,A1C1B1D1=O1,连结EO1,过E作EF⊥BD1.
∵EO1是△BB1D1的中位线，
∴EO1//BD1,
∴BD1//平面A1EC1,
BD1和平面A1EC1的距离就是异面直线BD1和C1E的距离.
∵EF⊥BD1,EO1//BD1
∴EF⊥EO1,
∴A1C1⊥BD1,A1C1⊥BB1
∴A1C1⊥面BB1D1，EF面BB1D1，
∴EF⊥A1C1，
∴EF⊥面A1EC1,
EF为直线BD1到平面A1EC1的距离.
∵△EFB∽△D1B1B
∴
∴异面直线BD1，C1E的距离为.
[解题后的点拨]将异面直线间的距离转化为平行线面间的距离,要满足这样的条件:过其中一条直线作另一条直线的平行平面,则这条直线与它平行平面间的距离即为两异面直线的距离.如图(4-9)
[巩固提高]
一.选择题:
1.a、b、c表示直线,表示平面，下列条件中，能使a⊥的是（ ）
a⊥b,a⊥c,b ,c ,
a⊥b,b//,
,
a//b,b⊥.
2.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在直线的位置关系是( )
(A)垂直 (B)斜交 (C)平行 (D)不能确定
3．在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，BC⊥AB，则四面体四个面的三角形中直角三角形有（ ）
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
4．到空间四点A、B、C、D的距离都相等的平面个数是（ ）
(A)3 (B)4 (C)7 (D)7或无数多
5．在正方体AC1中，M为DD1中点，O为ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则直线OP与AM所成的角为（ ）
(A)30° (B)60° (C)90° (D)45°
6.P是所在平面外一点,P到三边的距离相等,PO于O, O在内, 则O是的( )
(A)外心 (B)内心 (C)垂心 (D)重心
二．填空题:
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1内有一点P，求经过P点在平面A1B1C1D1内画一条直线，使它和直线D1B成最小的角，请你在图4-10中画出，并简要说明理由
8．如图4-11，（88高考文），
四边形ABCD是正方形，边长为1，SB垂直于面ABCD，SB=，用表示∠ASD，求=__________
9．线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则AB的中点M到平面的距离为_________.
10．∠ACB=90°,在平面内，PC与CA，CB所成的角∠PCA=∠PCB=60°,则PC与平面所成的角为__________.
11.如图4-12,AB是⊙O的直线,C是异于A,B的圆周上任意一点,PA垂直于⊙O所在的平面,则中,共有 个直角三角形.
三．解答题:
12．如图4-13，底面ABCD是正方形，SA⊥面ABCD，且SA=AB，M，N分别为SB，SD的中点，求证：SC⊥平面AMN.
13.已知ABCD是矩形，AB=3，AD=4，PA⊥面ABCD，PA=1，求①P到BD的距离；②A到平面PBD的距离.
14．两块常用三角板（如图4-15）；把三角板ABC沿BC折起，使点A在平面BCD内的射影H落在BD上，且CD=1， 求①AD的长；②AD与平面BCD所成的角；③AD与BC所成角.
15 已知:如图4-16,直线AO与平面M斜交于O, AB平面M,B是垂足,直线CD平面M,,,求证:
16. 如图4-17,梯形ABCD的一底边AB在平面M内,另一底边DC在平面M外且和M相距5cm,已知求这个梯形的两对角线的交点O到平面M的距离.
[自我反馈]
选择题：
1．D．根据线面垂直的判定定理，见教科书P24例1.
2．A．根据线面垂直的判定定理.
3．A．如图4-14根据线面垂直的性质定理可知
△PAB,△PAC?为Rt△,由三垂线定理可知△PBC也为Rt△.
4．D．如图4-15，分A，B，C，D四点共面和不共面两大类.
5．C．利用三垂线定理判定两条异面直线相互垂直，如图4-18PA1⊥面A1D,PO在面A1D的射影为A1O1，PO在面A1D的射影为A1O1，A1O1⊥AM，∴AM⊥PO.
6. B
P到三边的距离相等,则O点到的三边的距离也相等,故点O是的内心.
图4-18
二.填空题.
7．作法：连结B1D1,在面B1D1内，过P点作B1D1的平行线l，l即为所求.
理由：BB1⊥面B1D1,BD1是面B1D1的斜线，B1D1为BD1在面B1D1的射影，∠BD1B1为斜线BD1与面B1D1所成的角，是最小角，//B1D1, 与BD1所成的角即为∠BD1B1，也为最小角.
8．，由三垂线定理，DA⊥SA，，AD=1，SD=.
9．40cm或10cm.如图4-19.
10．45°，如图4-20，作PO⊥α,垂足为O，则CO为∠ACB的平分线，
∠BCO=45°,作OD⊥BC于D，则PD⊥BC，（三垂线逆定理），,
，
∴.
此题用到两个很有用的结论，一是书P30例3,P38 11.的两道题的结论,一是图中,CO,DO分别为PC,PD在的射影，有cos∠PCB=cos∠PCO·cos∠BCO这样一个公式，请同学们要熟记.
11．4
PA⊙O所成平面,则,,故均为直角三角形.
AB是⊙O的直径, 则即是直角三角形,AC是PC在⊙O所在平面上的射影,则即是直角三角形,所以共4个.
解答题:
12．证明：如图4-21连结AC,BD
∵SA⊥面ABCD，且AC⊥BD，
又∵SC是面ABCD的斜线，AC是在面AC的射影，
∴SC⊥BD，
∵MN//BD，
∴SC⊥MN， (1)
∵CD⊥面SAD，AN面SAD
∴CD⊥AN，
∵SA=AB，AB=AD,
∴SA=AD，N为SD中点，
∴AN⊥SD，
∴AN⊥面SCD，SC 面SCD，
∴AN⊥SC，(2)
由(1)(2)SC⊥面AMN.
13．解：如图(4-21)①在△ABD中，过A作
AE⊥BD于E，连结PE.
∵PA⊥面ABCD，AE⊥BD，
∴PE⊥BD， （三垂线定理）
∴PE为P到BD的距离.
∵，
∴.
②在△PAE中,过A作AF⊥PE于F,
∵BD⊥面PAE，
∴AF⊥BD,且AF⊥PE，
∴AF⊥面PBD，
∴AF为点A到平面PBD的距离，
14. 解:如图4-22①过A作AEBC于E,连结EH.
∵H是A点在平面BCD的射影,
∴AH面BCD,
∵AEBC,
∴HEBC, (三垂线逆定理)
∵BCCD,
∴HE∥CD,
∵是等腰直角三角形, AEBC,
∴E为BC中点,
∴HE为的中位线,
∵CD=1.
∴BD=2,BC=,AB=AC=
∴AE=
∴
②∵AH面BCD,
∴为AD与面BCD的成角.
∴
③过D作BC的平行线,与EH的延长线交于F,连结AF,为
BC与AD所成的角.
∵HEBC,
∴HEFD,
∴AFFD, (三垂线定理)
15. 证明:
作交于D点,连结AD,
∵BD是AO在平面M的射影,
∴
有中,
即
在中,
在中,
∴
16.作平面M于,则是DB在M内射影,作平面M于,则的长,分别为DC及O点到M的距离.
由∥,和
∴故
由知∥
∴∽
∴
又
∴
[走向高考]
1.(90广东)如果直线l是平面的斜线,那么在平面内( )
(A)不存在与l平行的直线;
(B)不存在与l垂直的直线;
(C)与l垂直的直线只有一条;
(D)与l平行的直线有无穷多条.
2. (89广东)如图4-21,在平面内有在平面外,斜线且斜线SA, SB分别与平面所成的角相等. (1)求证: AC=BC;
(2)设点S与平面的距离为4厘米,ACBC, 且AB=6厘米,求点S与直线AB的距离.
解答:
1. A. 根据线面平行的判定定理, 若内存在与平行的直线, 则∥,与已知矛盾.
2. ①证明: 过S作SD,垂足为D, 连结AD, BD, 则SDDA,SDDB.
∴分别为SA, SB与所成的角,由已知, .
∴SA=SB.
连结SC, ∵
∴AC=BC.
②解: 由①知, SA=SB,取AB中点E,连结SE,∴为S到AB
的距离.
∵为SA在内的射影,
∴,(三垂线逆定理)
同理
∵
∴四边形ACBD为正方形,
∵AB=6,
∴DE=3,SD=4,
∴ 即S与AB的距离为5cm.
[解析1]线面垂直的定义是一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,注意“任意一条直线”这个词语与“所有直线”是同义词，不要认为是“无数多条”.定义本身具有判定和性质双重意义，即：若直线a为平面内任意一条直线，直线⊥a直线⊥
[解析2]教科书中的例1(P24)也可以当作判定定理.
[解析3]注意两个概念：点到平面的距离，直线和平面的距离.
[解析4]包括这样几个概念：平面的垂线，射影，垂线段，平面的斜线、斜足、斜线段.斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影.应记住的结论：平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条.
重要定理：见书P28，注意定理中的关键词语“从平面外一点”，指的是垂线段，斜线段均是从平面外同一个点引出的.
[解析5]直线和平面所成的角的概念，必须根据直线和平面的位置关系来掌握它的定义,定义由下列三部分组成：
一条直线和平面平行或在平面内，规定直线和平面成0°角；
平面的垂线和平面所成的角规定为90°；
平面的一条斜线和平面所成的角是这条斜线和它在平面内的射影所成的锐角.
直线和平面所成的角的范围：[0°,90°]
斜线和平面所成的角的范围：(0°,90°)
注意：斜线和平面所成的角的最小性.见书P29.
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