两个平面平行的判定和性质 主讲人：张英群 [基础知识] 平等 位置关系 相交 两个平面 判定 两个平面平行 性质 [解析1]两个不重合的平面，按照有无公共点来分，只有平行和相交两种。无公共点，则两平面平行，有一个公共点，则两平面相交于经过这一点的一条直线，即有无数个公共点，两个平面相交。 [解析2]两个平面平行的判定，共有三种判定方法：一是定义；二是判定定理； 三是书上P35的例1，也可当作判定定理。 [解析3]两个平面平行的性质，共有三条：一是由面面平行及线面平行的定义得到的结论，
则
；二是性质定理；三是书上P36例2，也可作为性质定理。这三条性质可由面面平行推出线面平行、线线平行和线面垂直，是十分重要定理。 本节中还有三个概念：两个平行平面的公垂线、公垂线段和两个平行平 面的距离。 [学习指导] 1.如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合，对吗？ 不对。如果两个平面有一个公共点，根据公理二它们必相交于过这点的直线， 此时有无数个公共点，两平面并不重合。而如果两个平面有不在同一直线的三个公共点，根据公理三，这两个平面重合。 2.经过平面外一点能否作出和已知平面平行的平面？ 可以，经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。这是一个唯一性 结论。 3.在初中平面几何中，有关平行直线的一些结论，能否类比地推广到平行平面中？ 可以有这样几个结论： (1)夹在两个平行平面间的平行线段相等。 (2)两条直线被三个平行平面所截，那么所截得的对应线段成比例。 (3)平行于同一平面的两平面平行。 (4)一条直线和两个平行平面相交，它和两个平面所成的角相等。 这样结论都是经过证明成立的。 4.你能否将线线平行，线面平行，面面平行三种位置关系进行比较，找出其中的联系？ 这三种位置关系之间渗透着转化的思想，可以用下图表示： [例题精析] 例1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中， (1)求证：平面A1BD//平面CD1B1； (2)求平面A1BD和平面CD1B1的距离. [分析] 本题证两个平面平行，可以采用两种方法来证，一是证一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面；另一是证两个平面都垂直于同一直线。在求两平行平面距离时，关键找垂足，确定公垂线段，求长度。 [证明] 连结AC1，AC1和平面A1BD和平面CB1D1分别交于M、N (1)证法1：

，
证法2：

， ∴
， 同理
， ∴平面
. (2)由证法2可知
是平面
和平面
的公垂线，垂足分别为
、
，线段MN的长度是两平行平面间的距离。 在
， ∴
∴
同理
， ∴
， ∴两平行平面间的距离为
. [解题后的点拨] 此题说明证面面平行的两种方法的运用，并充分利用了前面我们所讲述的 正方体的对角线和与它成异面直线的面对角线相互垂直的结论，在求距离时，特别体现出将立体图形转化成平面图形来求的思想。 此题中求两个平行平面
的距离，也可转化为求两条异面直线 的距离。例如：异面直线
，
，
的距离也为
。这就是在第二讲空间直线中，我们曾经给同学们介绍的求异面直线距离转化为求平行平面间的距离的方法。即两条异面直线分别放在两个相互平行的平面内，则平行平面间距离即为异面直线间距离。如图5—2，
，
∴

为两平行平 面间的距离，也是两异面直线间的距离。 例2．

上的点，
求
[分析] 要证线面平行，须在平面内找一条直线与面外 线平行，即找线线平行，这是解决这道题的关键。 [证明] 证法1：过M作
，交
连 结PQ， ∵
， ∴
∴
∴
， ∴四边形
是平行四边形， ∴
， ∴
. 证法2： 过
作
，交
. ∵
, ∴
, ∵
, ∴
, ∴
, ∴
, ∴
. 同理
， ∴平面
∴
. [解题后的点拨] 由上述两种证法，更清楚地反映了线线、线面、面面三者之间的互相转化关系，所以同学们要熟练掌握判定定理和性质定理的内容，在证题时，注意其内在联系。 例3.异面直线上的线段BD和AC分别在平面
内
AB=CD=10，且AB和CD成60°角，求AC和BD所成角的度数. [分析] 本题是求异面直线成角问题，利用两个平面平行性 质作出异面直线的成角，是解决问题的关键。 [解] 过AC、CD作平面γ，
，取DE=AC=6，连结AE，BE. ∵
， ∴
∴四边形ACDE为平行四边形， ∴AE//CD，且AE=CD 则
CD和AB、AC和BD所成的角，
∴BE=10，DB=8 ∴
∴
即
和
成90
。 [解题后的点拨] 此题通过作辅助平面得交线，运用面面平行的性质定理，得到线线平行, 仍是把空间问题转化为平面问题来解. [巩固提高] 一.选择题: 1.命题（1）如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（2）如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（3）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；（4）如果一个平面内一个角（锐角或钝角）的两边和另一个平面内的一个角的两边分别平行，那么这两个平面平行；正确的是（ ） （A）只有（1）（2）（4） （B）只有（2）（3）（4） （C）只有（3）（4） （D）四个命题都正确； 2.平面α与平面β平行，它们之间距离d(d≠0),直线a在平面
内，则与 直线
相距为
且在平面
内的直线有（ ） （A）1条 （B）2 条 （C）无数条 （D）0条 3．
为三条不重合的直线，
为三个不重合的平面，有下列六个命 题： ①
②
③
④
⑤
⑥
其中真命题有（ ） （A）4个 （B）3 个 （C）2个 （D）1个 4.AB、CD是夹在两个平行平面
之间的异面线段，
,
,若 M、 N分别为AB、CD的中点，则有（ ） （A）
（B）
（C）
（D）
≤
5.已知
，直线AB、CD相交于S，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS的长度为（ ） （A）16 （B）20 （C）272 （D）16或272 6.下列命题中正确的命题( ) (1)平行于同一直线的两平面平行; (2)平行于同一平面的两平面平行, (3)垂直于同一直线的两平面平行, (4)与同一直线成等角的两平面平行. (A)(1)和(2) (B)(2)和(3) (C)(2)和(4) (D)(2),(3)和(4) 二.填空题: 7.夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是________. 8.分别在两个平行平面内的两个三角形（1）若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形________;（2）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形______. 9.一条直线与两平行平面中的一个成30°角，且被两平面截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是_________. 10.平面
平行平面
，平面四边形ABCD中，BC
，对角线AC和BD交于O，若AD=5cm，BC=10cm，O到平面
的距离是7cm,则平面
与
的距离为_______. 11.直二面角
,线段AB,
,AB与
所成的角为
,则AB与
成角的取值范围是 . 三.解答题: 12.如图5-5，已知直线
∥


, 求证：直线CD//平面MAB. 13.夹在两个平行平面间的两条线段，它们的长度之和是28cm，它们在其中 一个平面内的射影长分别是9cm和5cm，求这两条线段的长。 14．在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，经过其 对角线BD′的平面分别与AA′、CC′相交于E、F两点。（1）求证：EBFD′是平行四边形；（2）求平行四边形EBFD′的面积的最小值. 15.如图,直升飞机上一点P,在地平面M上的正投影是A,从P看地面上一物 体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃的平面N. 求证:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB. 16.P是
ABC所在平面外一点,
分别是
PBC,
PCA,
PAB的重 心. (1)求证: 平面
∥平面ABC. (2)求:
[自我反馈] 一.选择题： 1.C．利用两个平面平行的判定定理可知命题（2）中无数条直线平行于另一平面，也不能代表所有直线，如图5—7可举反例。a、b、c、d…一组平行直线均与
平行，而
与
不平行，相交。 2.B．如图5—8 3.C．命题①为公理4；命题②中a、b也可能相交、异面；命题③中
、
可能相交；命题④为证过的结论；命题⑤中a可能在
内；命题⑥中a也可能在
内，所以只有①④正确 4.B．如图5—9，连结AC、BD、BC，取BC的 中点P，连结MP、PN。由三角形中位线定理， MP=
，
在
中,
5.D．如图5—10此题有两种可能情形，交点S 可在两平面的外侧，或在两平面之间，但S、A、B、 C、D五点共面，由已知可由相似三角形知识求出CS 的长度。 6. B 二．填空题: 7.平行或相交。如图5—11，三条平行线段在
面内的端点共线，则
有可能相交，若不共线，则平行。 8.相似，全等。第（1）问由相似三角形的判定定理可得；第（2）由夹在平行平面间的平行线段相等及三角形全等的判定定理可得。 9.如图5-12，已知
则
. ∵
设

∽
, ∴
解得x=1 10.
. 如图5—13,由两平面平行的性质定理可知AD//BC， ∴
∽
,
,
,
, ∴
的距离为
. 11.
≤
如图,当AB与
垂直时最大为
,当AB与
平行时最小为
,但由于B
, 故不能为
,所以
≤
三．解答题: 12.证明：∵
∴
∵
∴
同理可证
, ∴平面MAB//平面NCD
∴直线CD//平面MAB. 13.解：如图5-14,
分别为AB、CD在
内的射影，由已知AB+CD=28
B=9，
由两平行平面间距离处相等，得
。∴
，解出AB=15，CD=13. 14.（1）证明： ∵正方体侧面
， 且平面
与两侧面交于
， ∴
， 同理
， ∴四边形EBFD’是平行四边形 （2）解： 作
, ∴
EG的最小值即为异面直线
间的距离
∴
的最小值为
. 15. (反证法) 假设平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A 点重合,但这与题设矛盾. ∴平面N与平面M相交, 设平面N与平面M的交线为l. ∵
平面M, ∴
又∵
平面N, ∴
∴
平面PAB, ∴
AB. 16.(1)连桔
,并延长分别交BC,AB于M,N,连结MN. ∵
分别是
和
的重心, ∴M,N分别是BC,AB的中点, 则
∴
∥
平面ABC, ∴
∥平面ABC,同理
∥平面ABC,
与
是平面
内 的两相交直线, ∴平面
∥平面
(2)由(1)可知


于是

同理

因此
∽
相似比为
∴
[走向高考] 1.（87广东）设
是不重合的两个平面，
是不重合的两条直线，那么
的一个充分条件是（ ） （A）
（B）
（C）
（D）
2.（87上海）在空间里，下述命题中正确的是（ ） (A)若直线a//平面M，直线b
直线a，则直线b
平面M， (B)若平面M//平面N，则平面M内任一直线a//平面N (C)若平面M与平面N的交线为a,平面M内的直线b
平面N (D)若平面N内的两条直线都平行于平面M，则平面N//平面M 解答： 1.C． （A）、（B）、（D）的条件成立时，平面
和
均有可能相交，所以它们不是
//
的充分条件，而（C）的条件，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理可知
//
. 2.B． （B）符合面面平行的性质定理，（A）（C）（D）均可举反例否定. 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

---

【点此下载】