棱 柱
主讲人：张英群
[基础知识]
概念与分类
棱柱的性质
棱柱 性质 直棱柱的性质
常见的四棱柱性质
直棱柱的直观图
[学习指导]
1.为什么要学习棱柱？
在前面第一单元中，我们研究了空间的直线、平面位置关系，其中平行与垂直关系的判定和性质是中心内容，角与距离的证明和计算是进行位置关系定量研究的主要问题，并且培养了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力，如何将所学到的知识熟练掌握以及灵活运用呢？我们在第二单元中借助一些简单几何体，通过研究体的性质，能够对常见的几何体有比较全面的认识，在此基础上加深对前面所学知识的理解和掌握，并会应用.棱柱就是同学们所接触的第一个几何体.
2.如何判定一个几何体是棱柱？
要紧紧扣住定义去判定，不能说有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱.如图7-3，这是由两个平行六面体垒起来的，有两个面相互平行，其余各面是平行四边形，但它不是棱柱.
3.直平行六面体、长方体、直四棱柱、正四棱柱、正方体之间有什么关系？
根据课本中的定义来看，它们之间的关系是：{直四棱柱}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}.
4．如何求棱柱的侧面积、表面积和体积？
棱柱的侧面积=所有侧面面积的和
直棱柱的侧面积=底面多边形周长×侧棱长（高）
棱柱的表面积=侧面积+上、下底面面积
棱柱的体积=底面积×高
[例题精析]
例1.平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，且A1B=A1D.求证：（1）对角面AA1C1C⊥截面A1BD；（2）对角面D1DBB1是矩形.
[分析]由已知条件底面ABCD是菱形，可得BD⊥AC，故只要证BD⊥平面AC1即可.
[证明]（1）平行六面体的底面ABCD的对角线交于O，连结AO.
∵底面ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,且O为BD中点
∵A1D=A1B,
∴A1O⊥BD,AC∩A1O=O,
∴BD⊥对角面A1ACC1.
∵BD?面A1BD.
∴对角面AA1C1C⊥截面A1BD.
(2)由(1)可知BD⊥面A1ACC1.CC1?面A1ACC1
∴BD⊥CC1,
∵平行六面体中CC1∥BB1,
∴BD⊥BB1.
∴对角面D1DBB1是矩形.
[解题后的点拨]在前面第一单元中,我们学习了空间的直线和平面的位置关系的判定和性质定理,在这一单元中的简单几何体的习题中,同学们要学会将所学到的定理运用到几何体中,提高识图能力,提高分析问题、解决问题的能力,这就要求同学不仅要对第一单元的定理记熟记牢,还要将简单几何体的性质记熟记牢,共同运用,达到解题、证题运用自如的地步.
例2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,BC=CA=AA1=a,A1在底面△ABC的射影O在AC上，（1）求AB与侧面AC1所成的角;(2)若O恰是AC的中点,求此三棱柱的侧面积.
[分析]求线面成角,关键要找出斜线在平面的射影,找出平面的垂线.求三棱柱的侧面积,可分别求出各侧面面积再求和.
[解](1)∵A1O⊥底面ABC,BC?面ABC.
∴A1O⊥BC,
∵AB=a, BC=AC=a,
∴BC⊥AC,
∵AC∩A1O=O,
∴BC⊥面A1ACC1,
∴∠BAC为AB与侧面AC1所成的角,∠BAC=45°,
∴AB与侧面AC1所成的角为45°.
(2)∵O为AC的中点,AA1=AC=a,
∴AO=,A1O=
( =
∵BC⊥面A1C，
∴BC⊥CC1
∴侧面B1BCC1为矩形.
∴S( =
过O作OD⊥AB于D,连结A1D.
∵A1O⊥面ABC
∴A1D⊥AB(三垂线定理)
∵OD=AOsin45°=
∴A1D=
∴=
∴S侧=
[解题后的点拨]在第一单元中所学到有关角和距离的概念,到几何体中求时,仍然要遵循其定义,按照作图→证明→求值的步骤去做.
例3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱长为2,底面ΔABC中,∠B=90°,AB=1,BC=,D是侧棱CC1上一点,且BD与底面所成角为30°.(1)求点D到AB所在直线的距离;(2)求面A1BD与面BDC1B1所成二面角的度数.
[分析]在空间求点到直线的距离,关键是确定垂足的位置.由直三棱柱的侧面和底面垂直的性质,得到AB⊥侧面B1C,AB⊥侧面B1C中的直线BD.则BD的长就是D到AB的距离.求二面角的度数,首先要确定二面角的平面角,由A1B1∥AB,可知A1B1⊥侧面B1C,二面角棱BD在侧面B1C内,过B1作BD的垂线于E,连结A1与垂足E,则面A1B1E⊥BD,BD⊥A1E,∠A1EB1即为二面角的平面角. 图7-6.
[解](1)∵直三棱柱ABC-A1B1C1 ,
∵CC1⊥底面ABC.BC为BD在底面的射影,
∴∠DBC=30°.BC=
∴BD=2.
∵侧面B1C⊥底面ABC,∠B=90°,
∴AB⊥侧面B1C,
∵BD(面B1C,
∴AB⊥BD.BD即为D到AB的距离,长为2.
(2)在侧面B1C内,过B1作B1E⊥BD,垂足为E,连结A1E.
∵AB⊥BD,AB∥A1B1,
∴A1B1⊥BD,A1B1∩B1E=B1,
∴BD⊥面A1B1E,
∴BD⊥A1E,
∴∠A1EB1即为二面角的平面角.
在Rt△B1EB中,BB1=2,∠B1BD=60°,
∴B1E=BB1·sin60°=.
在Rt△A1B1E中,A1B1=1,tan∠A1EB1=∴∠A1EB=30°.
∴面A1BD与面BDC1B1所成的二面角的度数为30°.
[解题后的点拨]求点到直线的距离,寻求垂足是个难点,利用线面垂直的性质定理找出线线垂直得垂足,是一种转化求法.本题也可以用三垂线定理,得到点到线的距离.
[巩固提高]
一.选择题.
1.下列命题中正确的是( )
有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱;
有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
底面是正多边形的棱柱是正棱柱;
长方体是直平行六面体.
2.长方体的高等于h,底面积等于S,过相对棱的截面面积等于S’,则此长方体的侧面积等于( )
(A) (B)
(C) (D)
3.设一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形,则它的体积为( )
(A) (B) 4 (C) 6 (D) 8
4.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角△ABC,∠C=90°,且AC=BC=AA1,则AB1与BC1所成的角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
5.在过长方体的一个顶点的三条棱上各取一点(但不能取该顶点),则经过这三点的截面是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不一定是三角形
6.长方体的一条对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别是,则有( )
(A)
(B)
(C)
(D)
二.填空题:
7.正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为13cm,它的侧面积为 ,全面积为 .
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a, P为棱AA1的中点,Q为棱BB1上任意一点,则PQ+QC的最小值是 .
9.直平行六面体的各棱长都是a,底面平行四边形有一个角为60°,则它的体积是 .
10. (92上海考题)如图7-7,直平行六面体A1C的上底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,侧面为正方形. E、F分别是A1B1、AA1的中点,M是AC与BD的交点,则EF与B1M所成角的大小为 .(用反三角函数表示)
11.长方体的体积为8,全面积为28,且长,宽,高成等比数列,则长方体的对角线长等于 .
三.解答题:
12.(91三南考题)如图7-8,直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,
∠BAC=30°, BC=1,AA1=, M是CC1的中点,求证: A1M⊥AB1.
13.平行六面体的一个面是有一个角A为60°的菱形,侧棱和这个面所成的角为60°,已知对角面AA1C1C垂直这个平面,求证:另一个对角面BB1D1D与对角面AA1C1C的面积比为2:3.
14.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,二面角B-AA1-C,为120°,棱AA1与棱BB1、CC1的距离分别为16cm、14cm，若AA1=20cm,求三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积.
15.已知:斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面AA1C1C是矩形,,AC的长等于AB与A1B1的距离,AB=2A1A,求三棱柱各侧面之间的二面角的大小.
16.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,
A1M=
(1)求证: MN是A1B和BD1的公垂线;
(2)求MN的长.
[自我反馈]
一.选择题:
1.D. (A)中的两个侧面如是不相邻的两个侧面,则不能证出侧棱与底面垂直,因而不是直棱柱, (B)、(C)同(A),均不能证出侧棱与底面垂直,不是直棱柱.
2.C.设长方体的底面的长为a宽为b,由已知,
∴
则(a+b)2=2S+,S侧=2(a+b)h=2h=2.
3.B. 设正四棱柱底面边长为a,高为h,∴, V=a2h=4.
4.D.如图7-9,连结B1C,∵直棱柱ABC-A1B1C1,且AC⊥CB,∴AC⊥面B1C.∵BC=BB1,∴CBB1C1为正方形,B1C⊥BC1.B1C为AB1在面B1C的射影.由三垂线定理,BC1⊥AB1.
5.A.设在三条棱长各取一点,与顶点的距离为a, b, c,不妨设a>b>c,则所截截面为三角形,边长即为,显然最长边为,求其所对角的余弦值,利用余弦定理,
.
∴最大角为锐角.
6.D.
设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,对角线长为,
则有
∵
.
∴
二.填空题:
7.180cm2,（180+108）cm2.设正六棱柱的底面边长为a cm,由已知,a=6.S侧=.
S全=S侧+2S底=180+
8.a.将正方体侧面A1B和侧面B1C展开到同一平面内,当P、Q、C三点共线时，PQ+QC最小.最小值为
9.底面平行四边形的面积为∴V=
10..连结AB1,∵EF∥AB1,∴∠AB1M即为EF与B1M所成的角.∵BB1⊥上底面AC,BM为B1M在面AC的射影,又∵上底面AC为菱形,∴AC⊥BM.则AC⊥B1M.∴在Rt△AMB1中,
AM=AB, AB1=AB,
11.
设长,宽,高为a,b,c,
对角线长为a,则有
由①,③得即
∴或,
∴
三.解答题:
12.证明:连结AC1B1M,∵∠ACB=90°,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,则B1C1⊥A1C1
∴B1C1⊥面A1C,A1M(面A1C中.
∴B1C1⊥A1M
如图7-11,将侧面A1ACC1单独拿出研究.证明A1M⊥AC1.
由已知可得.A1C1=,CC1=,C1M=,在RtΔA1C1M中,tan∠1=
在Rt△ACC1中,tan∠2=,∴∠1=∠2.∴A1M⊥AC1
∴A1M⊥面AC1B1,AB(面AC1B1.
∴A1M⊥AB1.
13.证明:如图7-12.
在对角面AC1内,作AE⊥A1C1于E,
∵对角面AC1⊥底面A1C1,
∴AE⊥底面A1C1,
∠AA1E=60°,,AE=AA1
∵底面A1B1C1D1是菱形,
∴A1C1⊥B1D1,又AE⊥底面A1C1
∴AA1⊥B1D1,AA1∥B1B
∴B1B⊥B1D1.B1BDD1是矩形.
设底面边长为a,∠B1A1D1=60°,B1D1=a.A1C1=a.
∴=
14.解:如图7-13,过A作AD⊥BB1于D,作AE⊥CC1于E,连结DE.
∵AA1∥BB1∥CC1
∴AD⊥AA1,AE⊥AA1
∠DAE为B-AA1-C的二面角的平面角.
∠DAE=120°,且AD=16cm,AE=14cm.
∴在△DAE中,由余弦定理,
DE=
S侧=直截面面积×侧棱长
=(AD+AE+DE)×AA1
=1120cm2.
15.如图,作AD⊥BB1于D,连结CD.
∵AC⊥BC,AC⊥CC1,
∴AC⊥平面BCC1B1,而CD平面BCC1B1,
∴AC⊥CD.
又CD为斜线AD在平面BCC1B1上的射影,
∴由三垂线定理的逆定理得CD⊥BB1,
∴RtACD所在平面是侧棱的垂截面,
即ACD的三个内角分别是三棱柱各侧面所成二面角的平面角.
作B1E⊥AB于E,
∴∽
∴
又AD=2AC,
∴在中,,
∴三棱柱各侧面所组成的二面角的平面角分别为
16.(1)在A1B1上取点P,使连结PM,PN,则PM∥B1B,
∴PM⊥平面A1C1B1D1,PN∥A1O1,
在A1B1上取点Q,使A1Q=连结QN,QM,
则A1B⊥平面QMN,
∴A1B⊥MN,
又B1D1⊥A1C1,
∴O1D1⊥PN,面MN在底面A1B1C1D1上的射影为PN.
∴B1D1⊥MN,
∴MN是A1B和B1D1的公垂线,
(2)∵PM⊥平面A1C1D1,
∴PM⊥PN,
在RtMNP中,
∴
[走向高考]
1．（94全国理）如图7-14，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点，（1）证明：AB1∥平面DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
2. (98全国理)如图7-15,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
3. (98全国理)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面与底面ABC垂直,∠ABC=90, BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.(图7-16)
(I)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小.
(II)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小.
解答:
1.证明:(1)∵A1B1C1-ABC是正三棱柱.
∴四边形B1BCC1是矩形.
连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.
在△AB1C中,
∵AD=DC，
∴DE∥AB1，DE(面DBC1，AB1(面DBC1，
∴AB1∥面DBC1.
(2)作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,
连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.
∵AB1⊥BC1,
由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,
则BC1⊥EF,∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=
∵△ABC是正三角形,
∴在 Rt△DCF中,DF=DCsinC=, CF=DC·cosC=
取BC中点G.
∵EB=EC
∴EG⊥BC
在Rt△BEF中，EF2=BF·GF，又BF=BC-FC=，GF=，
∴EF2=，EF=
∴tan∠DEF=.
∴∠DEF=45°.
∴二面角α为45°.
2.AC⊥BD.或任何能推导出这个条件的其他条件.如:ABCD是正方形,菱形等.
3.解:(I)如图7-16,作A1D⊥AC,垂足为D.由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC.
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.
∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,
∴∠A1AD=45°为所求.
(II)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB,
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.
又D是AC的中点,BC=2,AC=2,
∴DE=1,AD=A1D=,tan∠A1ED=
∴∠A1ED=60°.
[解析1]注意棱柱的定义中包含着的性质含义：底面相互平行，侧棱相互平行.
棱柱各部分的名称：底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高、对角面（过不相邻的两条侧棱的截面）
棱柱的分类方法有两种，按侧棱与底面的位置关系分为：
棱柱
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…….
[解析2]直棱柱的性质：（1）具有棱柱的性质；（2）侧棱与底面垂直，和高相等；（3）侧面和对角面都是矩形.
正棱柱的性质：（1）具有直棱柱的性质；（2）侧面是全等的矩形；（3）上、下底面是全等的正多边形.
[解析3]常见的四棱柱有：平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体，它们之间的关系是：{四棱柱}?{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正方体}.
平行六面体的性质：（1）六个面都是平行四边形，相对的两个面平行且全等.（2）四条对角线交于一点且互相平分，（3）各棱的平方和等于对角线的平方和，如图7-1
直平行六面体的性质：（1）具有平行六面体的性质；（2）底面是平行四边形，侧面都是矩形，对角面都是矩形.
长方体的性质：（1）具有直平行六面体的性质；（2）六个面都是矩形；（3）四条对角线交于一点，相等且互相平分；（4）长方体的对角线长相等，每条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和；（5）长方体的一条对角线和一个顶点上的三条棱所成的角的余弦平方和等于1.如图7-2
BD12=A1D12+C1D12+DD12,cos2∠A1D1B+cos2∠DD1B+cos2∠BD1C1=1
正方体的性质：（1）具有长方体的性质；（2）六个面都是正方形；（3）正方体的一条对角线长的平方是棱长平方的3倍.
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