棱锥、多面体和正多面体
主讲人：张英群
[基础知识]
[学习指导]
1.如何认识棱锥?它与前面所学习的棱柱有什么关系?
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
由定义认识棱锥要注意二点: (1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形; (2)不能忽略“有一个公共顶点”的条件.
按多边形的边数分类:棱锥分为三棱锥,四棱锥,五棱锥,……
按顶点在底面射影的位置及底面的形状分类:棱锥分为正棱锥和非正棱锥.
棱锥和棱柱是两种截然不同的多面体,不存在从属关系,有时把棱锥看成是一个底面缩小成一点的棱柱,是为了更好地挖掘它们性质之间的联系.
2.底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗?正三棱锥就是正四面体吗?
都不是.正棱锥要同时具备二个条件: (1)底面是正多边形; (2)顶点在底面的射影是底面的中心.
正三棱锥的侧面仅可是等腰三角形,底面是正三角形,而正四面体的各面都是正三角形.
它们满足以下的从属关系:
3.如何理解棱锥的平行截面性质定理?
(1)平行截面性质定理提示了截得的棱锥与原棱锥各元素之间的关系.即底面之间相似,对应的侧面相似,并且它们的面积比等于对应高的平方比.
(2)过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面.设底面面积为S,横截面面积为,则.
(3)由定理容易发现如下规律:相应的线段比是对应高的比;相应图形的面积比是对应高的平方比;相应图形的体积比是对应高的立方比.
[例题精析]
例1.已知正三棱锥的底面边长为a,侧面与底面所成角为,求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的大小.
[分析]此题由已知侧面与底面所成角为,从作二面角的平面角入手即可.
[解]作底面ABC于O,由正三棱锥的定义,O是底面正三角形的中心,连结CO并延长交AB于D,连结SD.
∴
由三垂线定理, .
∴是侧面与底面所成二面角的平面角,即.
∵是边长为a的正三角形,
∴，
∴,
.
作于E,连结AE，
∴是三棱锥两相邻侧面所成的二面角的平面角.
作
，
又
.
在,
，
即正三棱锥的高为,两相邻侧面所成二面角的大小为.
[解题后的点拨](1)一个正棱锥已知两个独立的量,可求出其它各量,如本题中已知底面边长及侧面与底面所成的角.(2)正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起着重要作用.如图8-1它们分别是:高、斜高、底面内切圆半径构成的直角三角形();高、侧棱、底面外接圆半径构成的直角三角形（）；斜高、侧棱、底面半边构成的直角三角形()及含有两相邻侧面所成二面角的平面角的等腰三角形().
例2.如图8-2,已知正三棱锥P—ABC的高PO=5a,斜高PM=7a,求经过PO的中点平行于底面的截面的面积.
[分析]此题根据平行截面性质定理,只要先求出底面的面积即可,由例1,利用高、底面内切圆半径所构成的直角三角形,计算出底面的有关量.
[解]
连OM,OA,在中，
，
∵棱锥P—ABC是正棱锥，
∴点O是的中心，
AB=2AM=2OM，
[解题后的点拨]从基本量的角度的认识,线段是一维的，面积是二维的，体积是三维的，所以要注意它们之间的比的关系。即面积的比等于线段的平方比，体积的比等于线段的立方比.
例3.如图8-3,在棱长为2a的正方体ABCD-中E, F, G分别是,BC,的中点,求到平面EFG的距离.
[分析]求点到平面EFG的距离可以看作是求三棱锥-EFG的高.
[解]设点到平面EFG的距离为h,
,
∴
∵，
∴ 即，
∴
∴
∴,即到平面EFG的距离是.
[解题后的点拨]此题运用了三棱锥体积的换底变形,即对于一个三棱锥A-BCD可以把它的任何一个面做为底面表示出体积.除此法外,我们还常常用到割补法求三棱锥的体积.
[巩固提高]
(一)选择题:
1.棱锥的高为16cm,底面积为512cm,平行于底面的截面积为,则截面与底面的距离为( )cm.
(A) 5 (B) 10 (C)11 (D)25
2.正三棱锥P-ABC中,M, N是侧棱PB、PC的中点,若截面AMN垂直于侧面PBC,则棱锥的侧面积与底面积的比为( )
(A) 1: (B) : (C) : 2 (D)
3.三棱锥P-ABC的三条侧棱与底面成的角相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )
(A)内心 (B)外心 (C)垂心 (D)重心
4.在四面体的四个面中,直角三角形最多可有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
5.一个多面体共有10个顶点,每个顶点处都有四条棱,面的形状只有三角形和四边形,则该多面体有三角形和四边形的面分别为( )
(A)4个,8个 (B)8个,4个 (C)5个,6个 (D)6个,5个
6.三棱锥中,三条侧棱两两垂直,,的面积为S,则P到平面ABC的距离为( )
(A) (B) (C) (D)
(二)填空题:
7.设棱锥的底面面积是,那么棱锥的中截面的面积是_________.
8.一个三棱锥沿三条侧棱剪开展在平面上,刚好组成一个边长为a的正方形,则以最大面为底面时,它的高等于__________.
9.一个简单多面体的各面都是四边形,则它的顶点数与面数F之间有关系式__________.
10.如果正四棱锥的侧面是正三角形,那么侧面和底面所成二面角的正弦值为__________,相邻两个侧面所成的二面角的正弦值为__________
11.直三棱柱ABC-A1B1C1的体积36,P,Q分别为AA1,CC1上的点,而且满足AP=C1Q,则四棱锥B-APQC的体积是 .
(三)解答题:
12.如图8-4,在三棱锥S-ABC中,S在底面上的射影位于底面的高CD上,E是侧棱SC上的一点,使截面ABE与底面ABC所成的角等于.求证:SC截面ABE.
13.在三棱锥A-BCD中,AB=4,其余各棱长为3,求三棱锥A-BCD的体积.
14.四棱锥P-ABCD，底面是边长为a的正方形，平面PAC底面ABCD，
PA，PC与底面所成的角分别为，求棱锥的高.
15.一个棱锥所有的侧面所成的二面角都等于锐角,且顶点在底面的射影在
底面多边形的内部,求证:
16.所有棱长都相等的正三棱锥和棱长都相等的正四棱锥,相邻两个侧面所成的二面角分别为,求证: .
[自我反馈]
(一)选择题:
1. C
由棱锥平行截面的性质,设截面与底面的距离为h,则有,
∴.
2. D
设截面交BC于E,可证PA=AE.设底面边长为a,斜高为,则,,
,
∴.
3. B
侧棱相等,则侧棱在底面上的射影相等,顶点在底面上的射影到底面上三个顶点的距离相等,则顶点的射影为底面三角形的外心.
4. D
如图8-6,由三垂线定理得,所以四个侧面都是直角三角形.
5. B
设该多面体有三角形和四边形的面分别为x个,y个,则
∴
6.B
设P到平面ABC的距离为则
∵,
∴
∴
(二)填空题:
7.
棱锥的中截面和其底面相似,
∴,
∴.
8.
如图8-7，三棱锥的三条侧棱两两垂直,展开图中C、D分别是的中点,可通过计算,得出的面积最大.由
∴,
∴.
9. ,
棱数E=2F, V+F-E=2,
∴V+F-2F=2, 即V=F+2.
10. .如图8-8
由题意,S在面ABCD内的射影O是正方形ABCD的中心.
取AB的中点E,易证即是侧面和底面所成的二面角的
平面角,取SB的中点F,连AF、CF.易证即是相邻两
个侧面所成二面角的平面角.设棱长为2a,
∴SE= OE= ,
∴,
又,
∴,
∴.
11.12
∵直三棱柱ABC-A1B1C中,
AP=C1Q,
∴四边形PQC1A1与四边形PQCA面积相等,
∵四棱锥B-ACQP与四棱锥B-A1C1QP高相等.
∴
而
∴
∴
(三)解答题:
12.连结DE ∵平面ABC,OC是SC在底面上的射影,且,
∴,
∴,
∴,
即,
∵,
∴.
13.如图8-9
取AB的中点E,连CE，DE.
14.如图8-10,
∵平面PAC底面ABCD
∴过P作
∴,
设OP=h,则OA=,
∴由
∴
当O在AC的反向延长线上时,如图8-11,则由OC-OA=AC=.
15.
设棱锥P-ABCD……,如图,作高PO及各侧面的高PK,PL,PM……,连结OK,OL,OM……,则为各侧面PAB,PBC,PCD……与底面所成二面角的平面角.
∴,
由得:
且,
∴点O在多边形内部,
∴
即
16.
设M,N分别为PA的中点,则
∵均为正三角形,
∴为正三棱锥,正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的平面角.
在正三棱锥P-ABC中,令则BM=MC=,
在中,
在正四棱锥P-ABC中,令AB=b,则DN=NB=
在△BDN中,
∵θ1,θ2均在(0,π)内,
∴θ1+θ2=π.
[走向高考]
1.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( )
(A) (B) (C) (D)
(97年全国理科高考题)
2.四棱锥P-ABCD中底面是一个矩形,AB=3, AD=1,又
(95年上海高考题)
(1)求四棱锥P-ABCD的体积
(2)求二面角P-BC-D的大小(用反三角函数表示)
[解答]
1.C
如图8-12,依题意,得BD=CD=，AD=2，设E为BC
的中点，连结DE、AE，因为都是等腰三角形，
则即为二面角D-BC-A的平面角，
由勾股定理得DE=AE=,则在中，有,
得
2.如图8-13,
(1) ∵,
在平面PAD中,作,交AD的延长线于点E.
∴平面ABCD
在,
∴.
(2)在平面ABCD中,作,交BC的延长线于点F,则,连结PF.
即是二面角P-BC-D的平面角.
在中,,
∴
∴二面角P-BC-D的大小为.
[解析1]棱锥的有关概念包括:棱锥的底面,棱锥的侧面,棱锥的侧棱,棱锥的顶点,棱锥的高.
[解析2]棱锥的性质定理可以简称平行截面性质定理.
[解析3]画法的一般步骤为: (1)画轴; (2)画底面; (3)画高; (4)成图
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