排列与组合
主讲人：张英群
[基础知识]
[学习指导]
1.如何理解加法原理和乘法原理？
加法原理和乘法原理是排列、组合问题的基础和核心，这两个原理的区别是一个与分类有关，一个与分步有关.加法原理指这些方法可以分类，即任何一类办法中任何一个方法，都能完成这件事.乘法原理是指这些方法需要分步，各个步骤顺次相接，即每一个步骤任取一种分法连续做完这n步，才能完成这件事.
区分应用这两个原理的关键，是分清完成这件事的方法可以“分类”，还是需要“分步”.
2.排列与组合的区别和联系是什么？
排列与组合都要“从n个不同的元素中，任取m个元素”，区别是排列要“按照一定的顺序排成一列”，“一定顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，而组合却是不管怎样的顺序“并成一组”.即排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，区分它们必须抓住“顺序”这个关键.
3.如何解好排列与组合的应用题？
解排列与组合的应用题，首先要分清所给问题是否与“顺序”有关，以确定这个问题是排列问题，还是组合问题，或者是排列与组合的综合题.
解应用题，一般有“直接”与“间接”两种思路.在分析中，优先安排特殊元素、特殊位置，或排除不合条件的情况.对于某些元素相邻的问题，常用“捆绑法”；对于某些元素不能相邻的问题，常用“插入法”.
求应用题中的排列数或组合数时，注意防止重复或遗漏，一般可考虑用一种思路计算结果，用另一种思路验证.
[例题精析]
例1.七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？
[分析]由于每个盒子至少放一个球，所以只需考虑另外三个球放入四个不同的盒子里多少种不同的放法就可以了.
[解]（种）
[解题后的点拨]此题的放法是分成三类，第一类是把三个球放在同一个盒子里；第二类是把两个球放入一个盒子里，把另一个球放入其它一个盒子里，把两个球放入第一个盒子或放入第二个盒子里显然是不同的放法.这是个排列问题；第三类是把三个球分别放入三个不同的盒子里，这是个组合问题，最后依据加法原理.
解决此类问题，要首先分清是可以分类，还是可以分步，其次具体判断每一类或一步是排列问题，还是组合问题.
[分析]这是个排列问题，数字0，1，2，3，4，5是元素，要组成的数是四位偶数，每个数位（个、十、百、千位）所对应的是位置，我们应先考虑特殊的元素和特殊的位置，个位上只能排0，2，4，另外，0不能排在首位.
[解]当个位数字是0时，前三位的排法有（种）.当个位数字是2，4时，个位的排法有种，又0不能排在首位，故首位的排法有种，中间的两位的排法有P，由乘法原理，此时四位数的个数有（个）.∴四位偶数的个数共有（个）.
[解题后的点拨]前面我们是把符合条件的四位偶数的个数直接求出来，这是直接法.有时也可以这样想：先考虑个位上只能排0，2，4这个条件，个位的排法有种，前三位的排法有种，有乘法原理，这样得到的形式上的四位数有.但这里有0排在首位的情况：.所以符合条件的四位偶数的个数为.这种方法是间接法.
例2.七位同学站成一排
(1)甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？
(2)甲、乙两位同学必须相邻，有多少种排法？
(3)甲、乙、丙三位同学都不能相邻，有多少种排法？
[分析]（1）甲、乙是特殊的元素，左、右两端是特殊的位置，先安排甲、
乙，甲可有两类站法.即右端、中间，在甲站中间的站法中，乙
除右端外可有五个位置.
（2）甲、乙必须相邻，可以把甲、乙看作一个元素.再加上其它五个
元素，共六个元素全排列，注意甲、乙还有一个排列问题.
（3）甲、乙、丙都不能相邻，可由其它四个元素先作全排列，这时有
5个空档，从中选出3个甲、乙、丙作全排列.
[解]（1）
（2）
（3）
[解题后的点拨]（1）采用的是直接法，也可以用间接法，即：（2）采用的是捆绑法.（3）采用的是插入法.
[巩固提高]
(一)选择题：
1.集合A={1，2，3}，B={4，5，6，7}从集合A到集合B的元素之间可以
建立不同映射的个数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.6个学生站成一排，甲、乙不能站在一起，不同排法有（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.计算得（ ）
（A）10 （B）465 （C）466 （D）无法确定
4.以正方体的顶点为顶点，作成三棱锥的个数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5.某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人，现在3个大人带2个小孩租甲、乙、丙三条艇，但小孩不能单独1人坐艇，则不同的坐法种数为（ ）
（A）21 （B）28 （C）33 （D）27
6.将的形式是( )
（A） （B） （C） （D）
(二)填空题：
7.用数字0，1，2，3，4，5能够组成________个没有重复数字且是25的倍数的四位数.
8.书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，如果不使同类书分开，共有_________种排法.
9.若则n=___________.
10.某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛）共有_______种不同参赛方法.
11. 已知=__________________
(三)解答题：
12.求证：
13.由1，4，5，x四个数字组成的没有重复数字的四位数，若所有这些四
位数的各数位上的数字和为288，求x.
14.设
(1)从集合A、B中各取一个元素作为直角坐标系中的点的坐标，共有多少个点？
(2)从A∪B中取出不同的三个元素组成一个三位数，且从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少？
15. 某天要上政治, 语文, 数学, 物理, 体育, 生物六节课, 但第一节不能上体育,第二节不能上物理, 第六节不能上数学, 这天课表有几种排法?
16. 集合, 以A为定义域, B为值域的函数的个数是多少?
[自我反馈]
(一)选择题：
1.C
A中每一个元素选B中的任何一个元素
2.C
用插入法，第一步除甲、乙外的4个人进行排列，有，第二步在5个位置中把甲、乙插入，∴共有
3.C
由题意，得3n≥38-n且21+n≥3n
∴9.5≤n≤10.5
∴n=10
故原式=
4.D
从正方体的8个顶点任选4个点的组合数为，而正方体的表面四边形的四个顶点不构成三棱锥，正方体的6个对角面也不构成三棱锥，故构成三棱锥的个数为
5.D
坐法只有两种情况
(1)甲艇坐2个孩子，此时必有1个大人在甲艇上，有种坐法，另2大人或坐在乙艇或1人坐乙艇，1人坐丙艇，有种坐法.所以有种坐法.
(2)甲艇坐1小孩，乙艇坐1小孩，共种排法.
若甲坐2个大人，另1个大人只能坐乙艇，共种坐法.若甲坐1个大人，另2个大人乙、丙各坐1人，共有种坐法.
∴共有（种）坐法
所有共有9+18=27（种）坐法
6. D
由排列数公式, 求得
(二)填空题：
7. 21
尾数只有25或50两种情况，末尾是25的有种；末尾是50的有种，∴共计有（种）
8. 103680
用“捆绑法”，先把同类书捆在一起看作一个元素，共有3！种排法，然后将各类书进行排列，分别有4！，5！，3！种排法，由乘法原理，共有种排法.
9. 3
由排列数的定义可得，
∴
∴（不合题意，舍）
10. 362880
或先从10名男运动员中选3名有种，女运动员中选3名有种，选出6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A，B，C；三名女运动员的一个排列与A，B，C配对，共有配对方法.最后这3对男女混合选手的出场顺序为，由乘法原理有
（种）
11. 28
由已知
即
但
∴m=21(舍去)
∴
(三)解答题:
12.∵
∴
13. 各数位上数字之和为1+4+5+x的这些四位数的个数，在千位数上出现
个，此时，百位数上出现的个数是，在十位数上出现的个数是
，在个位数上出现的个数是，
∴所有这些四位数的各数位上的数字之和是：
14．由已知得A={4，5，6，7，8}，B={3，4，5，6，7}
（1）排列问题，从集合A，B中各取一个数共可配成对数，
但是，因为A，B中含有相同的数，因此上面数对中有重复，重
复数对有个.∴适合条件的点共有：
（个）
（2）A∪B={3，4，5，6，7，8}因为取定三个元素后只有一种顺序
（从左到右逐渐增大），∴三位数共有（个）
15. 若体育排在第六节, 则物理可在第一, 三, 四, 五节中选一节, 其余四科在余下的4节中随便排,有种排法.
若体育排在第二节, 则先考虑数学,和上面类似, 也有96种排法.
如体育排在第三, 四, 五节中的一节, 则可分物理排在第六节和不排在第六节两种情况, 在第一种情况下其余四种可在余下的4节中随便排,有种排法;第二种情况下,物理可在第一, 三, 四, 五节中没排体育的三节中选一节, 数学在一, 二, 三, 四, 五节中没排体育和物理的三节中选一节, 其余三科在余下的三节中随便排,有种排法.
∴这个课表有种排法.
16. A中有3个元素对应B中1个元素,另2元素与B剩余2个元素一对一,这样的函数有个,A中元素分成3组,2个元素为一组的有2组, 剩余1个元素为一组,这三个组与次序无关, 共有种分法,每一组对应B中1个元素,这样的对应个数而为此种情况的函数个数,有个.
所以,以A为定义域, B为值域的函数个数共有(个)
[走向高考]
1.（1996年高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的
三角形共有________个（用数字作答）
2.（1997年高考题·理）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中任取4
个不共面的点，不同取法有（ ）
（A）150种 （B）147种 （C）144种 （D）141种
3.（1998年高考题·理科）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，
每校分配1名医生和2名名护士，不同分配方法共有（ ）种
（A）90种 （B）180种 （C）270种 （D）540种
[解答]
1.从7个点中选3个点的组合数共有（种）选法，但正六边形中过中心的三条对角线中的三个点不能构成三角形.∴符合条件的三角形共有（个）.
2.从10个点中任取4个，共有种选法.其中共面的有三类：四点在同
一面上的，有（组）；每个棱的中点与它所对的棱上的三个点也共面，有6组，在6个中点中，四点共面的有3组.故不同取法是：
210-（60+6+3）=141（种），应选D.
3.（种），选D.
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