二项式定理
主讲人：肖芳
[基础知识]
二项展开式
二项式定理
二项式系数的性质
[学习指导]
1.如何掌握二项式定理？
二项式定理是同学们在初中学习过的和的平方、和的立方公式的推广,要掌握二项展开式的几个特点:
(1)项数:共项;
(2)系数:第项的二项式系数是;
(3)指数:a的指数由的指数由,各项a和b的指数的和都等于n.
特别对二项展开式的通项公式要注意:
(1)它表示的是展开式的第项,而不是第r项.
(2)公式中a和b的位置不能颠倒,它们的指数和为n.
(3)对于的二项展开式的通项公式应是.
2.二项式系数和项的系数有什么不同?
二项式系数仅指,个组合数,与a, b无关,而项的系数却与a, b的取值密切相关.例如,
,
这个二项展开式中，二项式系数是,项的系数是,两者显然不同.
3.在二项式定理的应用中,如何运用取特例的方法解决问题?
书中给出二项展开式的特例,,在解题中,应用取特例的方法,找到从一个关系式得到另一个关系式的方法.令时,可得
时,可设即
.
令时,得到.
4.“杨辉三角”是什么含义?
“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡,它可直观地看出二项式系数的性质,当二项式的次数不是很大时,可借助它直接写出各项的二项式系数.
5.二项式定理有哪些应用?
(1)求二项展开式中的某项;
(2)证明整除问题;
(3)求组合数的和;
(4)证明组合恒等式(或不等式)
[例题精析]
例1.(89年上海)在展开式中,如项的二项式系数相等,
(1)求r的值;
(2)写出展开式的项.
[分析]由题目所给的条件, 项的二项式系数相等,列方程,求出r值并不困难,但是展开式中某项的系数和二项式系数是一个不能混淆的概念性问题.
[解] (1)∵项的二项式系数是项的二项式系数是,
∴
由组合数性质
∴解得(舍) r=4
(2)∵r=4
∴
[解题后的点拨]求二项展开式中的某项，是二项式定理常见的题型.次数已知,则直接应用通项公式求得,若次数或有其它量未知,则需先根据题意求出参数的值,再求二项展开式中的某项.
解题时注意概念的区分和公式的正确使用,以及组合数公式和性质的应用.
例2.当n为自然数时,求证:能被49整除.
[分析]要证明能被49整除,要将被除式根据除数(式)的特点进行适当变形,得=,再利用二项式定理进行证明.
[解]
=
∵为整数.
∴能被49整除。
[解题后的点拨]用二项式定理证明整除问题或求余数,都需根据除数(式)的特点,对被除式进行相应的变形,使之二项展开式,含有除数(式)的因式,便于证明.
[例3]求证:
[分析]将等式左边与二项展开式的各项对照,可以得出.
[解] 由二项式定理:
对照要证等式的左边.令.
得
∴
原式得证.
[解题后的点拨]组合恒等式的证明,可以利用二项式定理,在展开式中,令a, b取特定的数值,可以得到一系列有关组合数的和的公式.
[例4]已知展开式中某连续三项系数的比是3:8:14,求展开式中系数最大的项.
[分析]若求系数最大的项,需将指数n求出,利用已知中连续三项系数比3:8:14解出.
[解] 由已知可设连续三项系数比为,则=3:8:14.
即
由组合数公式化简可得
解出.
∴的展开式共有11项,其中最大项为第6项,即
[解题后的点拨]在求二项展开式的二项式系数的最大值时,若指数n为偶数,第项最大,若n为奇数,中间第项,第项相等,且最大.
[巩固提高]
一.选择题.
1.的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是( )
(A)
(B)
(C)
(D)(n为偶数)，或+1(n为奇数)
2.多项式的展开式中,含x3项的系数为( )
(A)-100 (B)100 (C)-120 (D)120
3.展开式中所有奇次项系数的和为( )
(A)2n (B) 2n+1 (C) 2n-1 (D) 2n-2
4.设,则的值为( )
(A)128 (B)129 (C)47 (D)0
5.按x升幂排列的展开式的项数为奇数,且第5,6,7项的系数成等差数列,则n等于( )
(A)7 (B)7或14 (C)14 (D)7和14以外的数
6.已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数比为56:3, 则展开式中的常数项是( )
(A)第2项 (B)第3项 (C)第5项 (D)第10项
二填空题.
7.在恒等式中,若,则正整数n的值为_________.
8.在展开式中,第_____项的二项式系数最小,共_______个有理项.
9.展开式中含项的系数与展开式中含项的系数的比是_________.
10.数除以8的余数是___________.
11.若的展开式中含x的项为第6项, 若设则_____________.
三.解答题
12.设,求
的值.
13.已知展开式中含项的系数与展开式中含项的系数相等,求的值.
14.已知展开式中x的系数为N*）求: (1)展开式中的系数的最小值; (2)当的系数为最小时,求的系数.
15.已知成等差数列.
求证:
16.在的展开式中, 含项的系数是144, 求k的值并求出含项的系数等于多少?
[自我反馈]
一.选择题
1. D. n为偶数时,系数最大的项为中间项;当n为奇数时,系数最大的项为中间的两项.
2. C. 展开式中含项的系数为
3. C.对于的展开式中所有奇次项系数的和为.所以题中所有奇次项系数的和为.
4. A.=
5. C. 的展开式的项数n+1为奇数,
∴n为偶数,由第5,6,7项的系数成等差数列,
∴ ∵n≥6, ∴化简
∴, ∵n为偶数, ∴n=14
6. B
∵
∴
解得(舍)
又
∴即常数项是第三项.
二.填空题.
7. 15.
∵
∴由二项式系数的对称性,
8. 50,17.两中间项的系数为,
∴第50项的二项式系数最小.
∴k必须为3的奇数倍,,且m为奇数.
由0≤k≤99,知0≤m≤33,则m取奇数有1,3,5…33共17个,所以有理项有17项.
9. 2:1 展开式中含的系数为,展开式中含的系数为,
∴:=2:1
10. 6.
∴余数为6.
11. 225
由
令
∴
三.解答题
12.解:
现取.
∴ (1)
再取.
∴ (2)
(1)-(2)得
∴
13.解: 展开式中含项的系数为;展开式中含的系数为
∵
∴
∴
14.解:
(1), 即
的系数为
令
∵N* ∴, .
(2)当
∴的系数为
15. ∵
∴
16.依题意,含项的系数来自三部分:的展开式中, 含项的系数;展开式中, 含项的系数; 展开式中,含项的系数, 得解得.
含项的系数等于展开式中, 含项的系数与展开式中常数项之和, 解出这两项系数和为-3
∴, 含项系数是-3.
[走向高考]
1.(99全国高考)若；则的值为( )
(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2
2.(96全国高考)某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?(精确到1公顷).
解答.
1. A
令 (1)
(2)
(1)+(2) (3)
(1)-(2) (4)
(3)2-(4)2 ∴
∴所求式=1
2.设耕地平均每年至多只能减少x公顷,该地区现在人口为p人,粮食单产为M吨/公顷.
依题意
≥
化简得 x≤103
∵
∴x≤4 (公顷).
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