互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 一.[基础知识] 二.[学习指导] 1.如何区分互斥事件、对立事件和相互独立事件？ 可以有以下分类： 都不发生 不能同时发生（互斥事件） 有且只有一个发生（对立事件） 两个事件 可以同时发生（相互独立） 特别是“互斥”和“相互独立”，前者是两个事件不可能同时发生，后者是 指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 2.如何把握概率公式成立的条件并正确运用公式？ 运用概率公式时，先注意分析公式成立的条件，当A，B是互斥事件时，运用两个互斥事件的概率加法公式，
；当A，B是相互独立事件时，运用相互独立事件的概率乘法公式，
；如果A是某随机试验中可能出现的事件，且
，这个试验独立地重复进行
次，事件A恰好发生
次的概率
. 3.怎样分析事件的构成与概率的转化，提高解决概率问题的能力？ 对于复杂事件的概率计算，要分清事件的构成与概率的转化，并熟悉“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“不都发生”及“都不发生”等词语的意义，如：已知两个事件A，B，它们的概率分别为
，那么A，B中至少有一个发生为事件A+B，至多有一个发生为事件
，恰有一个发生为事件
，都发生为事件
，都不发生为事件
，它们之间的概率关系如下：
互斥 
相互独立  


 
0 
 


] 
 


 
1 
  三.[例题精析] 1.在一个盒子里，有均匀的红球32只，白球4只，从中任取两球，用两种不同的方法，计算其中至少有一只白球的概率. [分析]题目要求至少有一只白球，即为取两球，恰有一只白球，或两只均为白球的情况，这两种情况互斥，可由互斥事件的概率加法公式求得，或求其对立事件两球全是红球的概率，由对立事件的概率加法公式求得. [解]法一：记从36只球中任取两球，其中恰有一只白球为事件A1，两个球都为白球为事件A2， ∴
，

法二：记从36只球中任取两球，两球全是红球为事件A，那么
与事件A对应的事件
即为任取两球，至少有一只白球， ∴
[解题后的点拨]在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先求此事件的对立事件的概率. 例2.今有甲、乙两只口袋，甲装有4只白球，2个黑球，乙装有3个白球，4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取两球交换后，计算：（1）甲袋内恰有两个白球的概率；（2）甲袋内恰有四个白球的概率. [分析]分别从两只口袋内任取两球，是两个相互独立的事件A、B，取出两球后再分别交换就是事件
发生，若使甲袋内恰有两个白球，需从甲袋中取出2个白球，乙袋中取出2个黑球，然后再交换.若使甲袋内恰有四个白球共有三种情况：①甲中取2个白球，乙中取2个白球，然后交换；②甲中取出1个白球和1个黑球，乙中取出1个白球和1个黑球，然后交换；③甲中取2个黑球，乙中取2个黑球，然后交换. [解]（1）甲袋内恰有两个白球的概率：
， （2）甲袋内恰有四个白球的概率：
[解题后的点拨]分别从两只口袋里任取两球是两个独立事件，独立事件同时发生可利用相互独立事件的概率乘法公式求解. [例3]我潜艇用鱼雷打击敌人来犯的舰艇，至少命中两枚时，敌舰即被击沉。已知每枚鱼雷的命中率都是0.60，当我潜艇的八个鱼雷发射管同时向目标发射一枚鱼雷后，计算来犯敌舰被击沉的概率. [分析]记一枚鱼雷命中敌舰艇为事件A，则
，八个鱼雷同时发射，每种情况均为独立重复试验，共有七种情况；其中两枚击中、三枚击中、……八枚击中，应用
次独立重复试验的概率公式去做. [解]

， [解题后的点拨]
次独立重复试验的每次试验事件发生的概率相同，在
次试验中某事件恰好发生
次的概率有公式
，要先判定是否为
次独立重复试验的问题，再运用公式去做. [例4]在100只三极晶体管里，按电流放大系数分成A、B两类，若A类有40只，B类有60只，在下列两种不同的抽样方案里，事件“从100只任取3只，这三只都为B类”的概率各等于多少？（1）从总体内抽取一只，测试后放回，再从总体内抽取下一只，如此抽取三次；（2）从总体内抽取一只，测试后不放回，再从总体内抽取下一只，如此抽取三次. [分析]（1）每次从总体内抽取一只，后又放回，因此每次抽取是相互独立的；（2）从总体内抽取一只，后不放回，再抽取，每次抽取不独立. [解]（1）
（2）
[解题后的点拨]有放回和没放回，是不同的事件，要用不同的公式求解. 四.[巩固提高] 一.选择题. 1.对于事件
，命题（ ）是不正确的 （A）如果
互斥，那么
也互斥； （B）如果
独立，那么
也独立； （C）如果
对立，那么
也对立； （D）如果
不独立，那么
也不独立. 2.某射手命中目标的概率为
中目标的概率为（ ） （A）
（B）
（C）
（D）
3.设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是（ ） （A）0.13; （B）0.03; （C）0.127; （D）0.873. 4.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的螺栓概率为（ ） （A）
（B）
（C）
（D）
5.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（ ） （A）
（B）
（C）
（D）
6.下列命题正确的是（ ） （A）随机事件发生的概率就是指该事件发生的频率值。 （B）如果两个事件相互独立，则称这两个事件互斥。 （C）对立的两个事件一定是互斥事件，但互斥事件一定是对立事件。 （D）相互独立的两个事件就叫对立事件。 二.填空题. 7.甲掷3枚硬币，乙掷3颗骰子，甲恰掷出2个正面同时乙恰掷出2个1 点的概率是 ； 8.某产品分上、中、下三等，如生产中等档次产品概率为0.03，生产下等档次产品的概率为0.01，则对产品抽查1件得到的是上等品的概率为 ； 9.某企业正常用水（一天一晚24小时用水不超过一定量）的概率为
，在5天内至少有4天用水正常的概率 ； 10.两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则有且仅有1台雷达发现飞行目标的概率为 。 11.在100000张奖券中没有10个一等奖，100个二等奖，300个三等奖，从中买一张奖券，那么此人中奖的概率是______。 三.解答题. 12.靶环是由中心是圆
和另外两个与圆
同心的圆环
、
构成，某射手命中区域
、
、
的概率分别为
，某射手射击一次，（1）不命中靶环的概率；（2）命中靶环的概率； 13.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是
，且是互 相独立的，求灯亮的概率. 14.奖券中有一半会中奖，为了保证至少有1张奖券能以大于0.95的概率中奖，最少应该购买多少张奖券？ 15.设某型号的高炮，每门击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射，每炮一发，问要以99%的把握击中一来犯的敌机，至少要配置几门炮？（tg2=0.3010） 16.某人有一串m把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开房门，但忘记了是哪一把。于是他任取一把试开，打不开时放回，再从中任取一把试开，重复进行，直至把门打开。 （1）问该人在第几k次试开时，把门打开的概率为多少？ （2）在试开的n次中，有k次打开房门的概率为多少？ 五.[自我反馈] 一.选择题. 1．A．如：口袋中有红、白、绿三种颜色的球各若干个，现从袋中取一个 球，设
为从中取一个红球，
为从中取一个白球，则
为从中取一个白球或绿球，
为从中取一个红球或绿球，
与
显然不互斥. 2．C．事件“至少有一次未命中目标”与“三次全部命中目标”为对立事件，三次都命中目标的概率为
，则所求为1-
. 3．C．事件“出次品”与“两道工序均未出次品”为对立事件，所求概率为
4．C．从甲盒中任取1个螺杆是A型的事件为A，
记从乙盒中任取1个螺母是A型的事件为B，
要配套使用，即事件A、B同时发生，∴
5．B．看作
次独立重复试验，求1个流星独立重复10次，其中落在地面有4次的概率，
6．C 二.填空题. 7．
设A表示甲恰掷出2个正面事件，B表示乙恰掷出2个1点事件， 利用相互独立事件同时发生的乘法公式，
8．0.96.记抽查1件产品得到上、中、下等品分别为事件A、B、C，三事件为互斥事件，
9．
. 运用
次独立重复试验恰好发生
次的概率公式：
+
10．0.22.
11．
.此人一、二、三等奖的概率分别为
，
，
，因此中奖概率为
+
+
=
. 三.解答题. 12．解：（1）射击一次不命中靶环的事件A与射在
的事件是对 立事件，而射中区域
、
、
之一为互斥事件，
0.25)= 0.1. （2）射击1次命中靶环的概率为
13．解：记A、B、C、D这4个开关闭合分别为事件A、B、C、D，记A与B至少有一个不闭合为事件E，则
亮灯的概率为P，
14．解：记“第
张奖券中奖”为事件
，
，
为彼此独立事件，记“至少有1张奖券中奖”为事件A，则

）=

∴1-0.95
即
≥5， ∴取
15．设至少配置n门炮，则n门炮都未击中敌机的概率为（1-0.6）n因此，敌机被击中的概率为1-（1-0.6）n，由题意1-（1-0.6）n=0.99 ∴n≈5 16．（1）在第k次试开时打开房门的概率为
（2）在试开的n次中，有k次打开房门的概率为Ckn(
)k
n-k. 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

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