期末综合练习
[知识范围]
第九章 直线、平面、简单几何体；
第十章 排列、组合和概率
[练习内容]
一.选择题.
1.下列命题中,正确的命题是( )
(A)三点确定一个平面
(B)两组对边平行的四边形是平行四边形
(C)两组对边相等的四边形是平行四边形
(D)有三个角是直角的四边形是矩形
2.直线a和b是异面直线,且,那么直线AB和CD一定是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)以上三种情况都有可能
3.给出下列四个命题
①若则
②若E, F分别为中AB, BC边上的中点,则EF与经过AC边的所有平面平行.
③若为异面直线,,
④若为异面直线,,则b不在内.
其中正确的有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.直角在平面内,一点P在平面外,已知点P到直角顶点C的距离为24cm到两直角边的距离都是,那么点P到平面的距离是( )
(A) (B)12cm (C)13cm (D)
5.,直线,则内过点B的所有直线中( )
(A)不一定存在与a平行的直线 (B)只有两条与a平行的直线
(C)存在无数条与a平行的直线 (D)存在唯一一条与a平行的直线
6.A是二面角的棱上一点,,与,则该二面角的大小为( )
(A) (B) (C) (D)
7.二面角是的二面角,其内部有一点A, A到平面的距离分别为3和8,则点A在平面内的射影之间的距离是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
8.下列几何体中,一定是长方体的是( )
(A)直平行六面体 (B)对角面为全等矩形的四棱柱
(C)底面是矩形的直棱柱 (D)侧面是矩形的四棱柱
9.棱锥被平行于底的平面所截,若截面面积与底面面积之比为1:2,则此棱锥的高分成两段(从顶点到截面和截面到底面)之比为( )
(A) (B) (C) (D)
10.两个球体积之和为,大圆周长之和为,则两球半径之差是( )
(A)1 (B)2 (C)8 (D)4
11.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )
(A)210个 (B)300个 (C)464个 (D)600个
12.在的展开式中,有理项共( )
(A)15项 (B)16项 (C)17项 (D)18项
13.从标有1, 2, 3,…,9的九张纸片中任取两张,那么这两张纸片数字之积为偶数的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
14.下列说法正确的是( )
(A)事件A, B同时发生的概率一定比事件A ,B中恰有一个发生的概率小.
(B)事件A, B中至少一个发生的概率一定比A, B恰有一个发生的概率大;
(C)互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件;
(D)互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件;
15.有一批蚕豆种籽,如果每粒发芽的概率为0.9,播下15粒种籽,那恰有14粒种籽发芽的概率是( )
(A) (B)
(C) (D)
二.填空题.
16.已知A, B是直线l上两点,且AB=1,长为1的线段CA与BD都和l垂直,若CA与BD所成的角为,那么CD=___________.
17.直角梯形ABCD中,,以AC为棱将梯形折成直二面角使D到D’的位置,则二面角D’-BC-A的大小等于__________.
18.从10男生和5名女生中,选出4名男生和4名女生站成一排,排法的种数为____________.
19.在北纬圈上有A, B两地,它们分另在东经线上,设地球半径为R, 则A, B两地的球面距离是___________.
20.可被61, 63, 65, 67中的两个数整除,这两个数是____________.
三.解答题.
21.如图18-1,在三棱锥A-BCD中底面BCD,,AB=BC=2BD=2a.
(1)求证平面平面ACD
(2)求二面角B-AC-D的余弦值
(3)求三棱锥的全面积
22.若球面上,有四个点P, A, B, C若PA, PB, PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的体积.
23.设的展开式中各项二项式系数之和为256,二项式系数最大项的值为1120,求x.
24.甲乙两个篮球运动员在罚球线投球的命中率分别0.7和0.6,每人投球3次,求两人都投进两球的概率.
25.在二项式(axm+bxn)12中，a，b都是正数，且2m+n=0，m、n均不为0，它的展开式中最大系数是常数，求的取值范围。
26.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，求不同的选垄分法共有多少种。 （用数学作答）
27.证明：Cn+2·2C2n+3·22C3n+……+nCnn=n·2n-1
28.设有n个人，每个人都等可能地被分配到N（n≤N）个房间中的任意一间去住，求下列事件的概率：
（1）某指定的n间房子中各有一人；
（2）恰有n间房，其中一人；
（3）某指定的房间中恰有m个人（m≤n）
练习答案
一. 1. B 2. C 3. A 4. B 5. D
6. B 7. C 8. C 9. D 10. A
11. B 12. C 13. C 14. D 15. D
二. 16. 2
17.
18.
19.
20.
三.
21.(1)由平面BCD, 平面BCD则有,又, ,所以平面ABD, 又平面ACD, 因此平面平面ACD.
(2)取AC的中点E, 连BE, 则,作,则由平面平面ACD,有平面ACD,
连EF, 则,由三垂线定理的逆定理有, ∴为二面角B-AC-D的平面角.
设
∴,
∴
(3)
∴
22.过P作平面ABC于H, 连结AH,设球心为O,则O落在AH上,连结OA,设球的半径为R,
∵两两垂直
∴,
∴，
∴
在中
∴,即
∴
∴
23.
∴,
=1120
∴
24.
25.
∵2m+n=0
∴n=-2m
展开式的通项Tr+1=Cr12(axm)12+(bxn)r
=Cr12a12-rbrx12m-3mr
令12m-3mr=0
∵m≠0. ∴r=4
∴最大系数项是第5项
由已知得 C412a8b4＞C312a9b3
C412a8b4＞C512a7b5
∴＜＜
26.分类：
（1）若A种第1垄，则B可以种8、9、10垄中任意一垄，3种种法。
（2）若A种第2垄，则B可以种9、10垄中任意一垄，2种种法。
（3）若A种第3垄，则B只能种第10垄，1种种法。以上共3+2+1=6种，又A和B可以互换位置，故有6×2=12种。
27. k·2k-1Ckn=k·2k-1·
=2k-1·
=2k-1·n·
=n·2k-1·Ck-1n-1
∴原式=n·C0n-1+n·2C1n-1·+n·22C2n-1+……+n·2n-1Cn-1n-1
=n(1+2)n-1
=n·3n-1
28. n个人分配到N个房间，共有Nm种分法
（1）指定的n个房间中各有一人的分法有Ann=n!种，所以概率P=
（2）从N个房间中取出n个有CnN种取法，而对于每次取出的n间房各住一人又有n!种方法，故总数为CnNn!因此概率P=
（3）从n个人中取出m个人分配到指定的房间有Cmn种方法,而其余n-m个人可任意分配到剩下的N-1个房间，这样又有(N-1)n-m种分法，故所求概率：P=.
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