第一章 集合与常用逻辑用语
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命题展望
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
4.命题及其关系
(1)理解命题的概念；
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
(3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.
5.简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
6.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义；
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
本章重点：
1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；
2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.
本章难点：
1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；
2.充分条件、必要条件的判断；
3.对含有一个量词的命题进行否定的理解.
1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；
2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；
3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；
4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识网络
1.1 集合及其运算
典例精析
题型一 集合中元素的性质
【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.
【解析】令a＋1＝－3?a＝－4，检验合格；
令a－3＝－3?a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；
令2a－1＝－3?a＝－1，检验合格；
而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.
【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.
【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求a和b的值.
【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，，b}，
得① 或② 显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.
题型二 集合的基本运算
【例2】已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，求实数a.
【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝??A；当a≠0时，B＝{}.
要使B?A，则＝3或＝5，即a＝或.
综上，a＝0或或.
【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.
【变式训练2】(2013江西模拟)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于( )
A.{x|－1≤x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1} D.
【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].
题型三 集合语言的运用
【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A?B.
(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；
(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.
【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.
(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.
设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，
所以≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.
又A?B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).
【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|－2≤x＜1}
B.{x|－2≤x≤2}
C.{x|1＜x≤2}
D.{x|x＜2}
【解析】选C.
化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为?RM∩N＝{x|1＜x≤2}.
总结提高
1.元素与集合及集合与集合之间的关系
对于符号∈，?和?，?的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.
2.“数形结合”思想在集合运算中的运用
认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.
(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.
(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.
3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A?B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.
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