10.2 空间几何体的表面积与体积
典例精析
题型一 表面积问题
【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
【解析】设圆锥的半径为R，母线长为l，圆柱的半径为r，轴截面如图，
S圆锥＝π(R＋l)R ＝π(R＋R)R＝(π＋π)R2，
S圆柱＝2πr(r＋r)＝4πr2，
又＝，所以＝，
所以＝.
【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法.
【变式训练1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m).
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积.
【解析】(1)直观图如图所示.
(2)该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.
题型二 体积问题
【例2】 某人有一容积为V，高为a且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方，且容器盖也被摔开了(盖为上底面)，为减少油的损失，该人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是多少？
【解析】 如图，破损处为D、E，且AD＝b，EC＝c，BB1＝a， 则容器内所剩油的最大值为几何体ABC－DB1E的体积.
因为＝，而＝，
由三棱柱几何性质知＝V， ＝，
所以＝V，
又因为＝，所以 VD－ABC＝·＝，
所以＝＋VD－ABC＝V.
故油最理想的剩余量为V.
【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体，然后求出这些规则几何体的体积，这是求几何体体积的一种常用的思想方法.
【变式训练2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？
【解析】设球的半径为R，则圆锥的高h＝3R，底面半径r＝R，
V圆锥＝·(R)2·3R＝3πR3；V球＝πR3.
所以＝＝，
所以剩下的水量是原来的1－＝.
【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比，作出轴截面，找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即可.
题型三 组合体的面积、体积的关系
【例3】底面直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A，如图所示：
(1)求面积A以x为自变量的函数式；
(2)求截得棱柱的体积的最大值.
【解析】 (1)A＝x·(0＜x＜2).
(2)V＝x··1＝ ＝.
因为0＜x＜2，所以当x＝时，Vmax＝2.
【点拨】关键是理解截面，并且注意x的范围从而求体积，在求第(2)求体积时还可利用不等式.
【变式训练3】(2010山东检测)把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )
A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π
【解析】设长方形的一条边长为x cm，则另一条边长为(6－x) cm，且0＜x＜6，以长为(6－x) cm的边作为围成的圆柱的高h，若设圆柱的底面半径为r，则有2πr＝x，所以r＝，因此圆柱的体积V＝π·()2(6－x)＝(6x2－x3)，由于V′＝·(12x－3x2)，令V′＝0，得
x＝4，容易推出当x＝4时圆柱的体积取得最大值，此时圆柱的底面周长是4 cm，圆柱的高是2 cm，所以圆柱的底面周长与高的比为2∶1，选C.
总结提高
表面积包含侧面积和底面积；直棱柱的侧棱长即侧面展开图矩形的一边；对于正棱柱、正棱锥、正棱台，其所有侧面多边形均全等，故可先求一个的侧面积，再乘以侧面多边形的个数.
求体积时，常常需要“转变”底面，使底面面积和高易求；另外，对于三棱锥的几何体选择不同的底面时，利用同一个几何体体积相等，再求出几何体的高，即等体积法.
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