10.3 空间点、线、面之间的位置关系
典例精析
题型一 证明三线共点
【例1】 已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且＝＝2.求证：直线EG、FH、AC相交于同一点P.
【证明】因为E、F分别是AB、AD的中点，
所以EF∥BD，且EF＝BD.
又因为＝＝2，所以GH∥BD，且GH＝BD，
所以EF∥GH且EF＞GH，
所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，
设两腰EG、FH的延长线相交于一点P，
因为EG?平面ABC，FH?平面ACD，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，
故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
【点拨】证明三线共点的方法：首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.
【变式训练1】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K. 求证：M、N、K三点共线.
【证明】
?
?M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.
题型二 空间直线的位置关系
【例2】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.
求证：直线FG?平面ABCD且直线FG∥A1B1.
【证明】因为E为CD的中点，在正方体中AE?平面ABCD，
又AE∩BC＝F，所以F∈AE，所以F∈平面ABCD，
同理G∈平面ABCD，所以FG?平面ABCD.
因为ECAB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD，
所以在正方体中CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，
所以FG∥CD，又CD∥AB，AB∥A1B1，
所以直线FG∥A1B1.
【点拨】空间直线的位置关系，常需利用线面、面面、线线的关系确定，推导时需有理有据.
【变式训练2】已知AC的长为定值，点D?平面ABC，点M、N分别是△DAB和△DBC的重心. 求证：无论B、D如何变换位置，线段MN的长必为定值.
【解析】如图，延长DM交AB于F，延长DN交BC于E.
因为M、N为重心，所以F、E分别为AB、BC的中点，
所以EF∥AC且EF＝AC.
又在△DEF中，DM∶MF＝DN∶NE＝2∶1，
所以MN∥EF且MN＝EF，所以MN∥AC且MN＝AC，
即MN为与B、D无关的定值.
题型三 异面直线所成的角
【例3】 在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角.
【解析】作平行线，找出与异面直线所成的角相等的平面角，将空间问题转化为平面问题. 如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角.
同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.
又AD⊥BC，所以∠GHF＝90°，所以GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
所以∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.
【点拨】立体几何中，计算问题的一般步骤：(1)作图；(2)证明；(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
【变式训练3】线段AB的两端在直二面角α－CD－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，求异面直线AB与CD所成的角.
【解析】在平面α内作AE⊥CD，
因为α－CD－β是直二面角，由面面垂直的性质定理，
所以AE⊥β，所以∠ABE是AB与平面β所成的角.
所以∠ABE＝30°，所以AE＝AB，同理作BF⊥CD，则易得BF＝AB.
在平面β内作BGEF，则四边形BGEF是矩形，即BG⊥GE.
又因为AE⊥β，BG?β，所以AE⊥BG.
所以BG⊥平面AEG，所以BG⊥AG.
因为BG∥EF，所以BG∥CD，所以∠ABG是异面直线AB与CD所成的角.
又因为在Rt△AEG中，AG＝＝＝AB，
所以在Rt△ABG中，sin∠ABG＝＝，
所以∠ABG＝45°.
总结提高
本节内容主要以四个公理为依托，导出异面直线，等角定理，线线、线面、面面关系.可见，解决此类问题要以公理为标准，以眼前的点、线、面的实际物体为参考，培养空间想象能力，重点是点共线、线共面、异面直线、等角定理应用.
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