10.4　直线、平面平行的判定及其性质 典例精析 题型一　面面平行的判定 【例1】 如图，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重
心. (1)求证：平面MNG∥平面ACD； (2)若△ACD是边长为2的正三角形，判断△MNG的形状并求△MGN的面积. 【解析】(1)证明：连接BM、BN、BG并
延长分别交AC、AD、CD于E、F、H三点. 因为M为△ABC的重心，N为△BAD的重心， 所以

＝＝2. 所以MN∥EF，同理MG∥HE. 因为MN?平面ACD，MG?平面ACD， 所以MN∥平面ACD，MG∥平面ACD， 因为MN∩MG＝M，所以平面MNG∥平面ACD. (2)由(1)知，平面MNG∥平面ACD， ＝＝2，所以＝＝， 因为EH＝AD，EF＝CD，
所以＝＝，所以＝＝＝， 又△ACD为正三角形. 所以△MNG为等边三角形，且边长为×2＝， 面积S＝×＝. 【点拨】由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行的判定定理得出面面平行. 【变式训练1】如图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，且它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AE∶EB＝____________. 【解析】.设AE＝a，EB＝b， 由EF∥AC，得EF＝，同理EH＝. E
F＝EH，所以＝?＝. 题型二　线面平行的判定 【例2】 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN.求证：MN∥平面BCE. 【证明】方法一：如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，则MP∥AB，NQ∥AB. 所以MP∥NQ，又A
M＝NF，AC＝BF，所以MC＝NB. 又∠MCP＝∠NBQ＝45°，所以Rt△M
CP≌Rt△NBQ， 所以MP＝NQ.故四边形MPQN为平行四边形. 所以MN∥P
Q. 因为PQ?平面BCE，MN?平面BCE，所以MN∥平面BCE. 方法二：如图二，过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC. 所以＝.连接NH，由BF＝AC，FN＝AM得＝， 所以
NH∥AF∥BE.
因为MN?平面MNH，所以MN∥平面BCE. 【点拨】解决本题的关键在于找出平面内
的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)?线(外)∥平面或转化为证明两个平面平行.方法二中要证明线面平行，通过转化为证两个平面平行，正确地找出MN所在平面是一个关键方法.方法一是利用线面平行的判定来证明，方法二则采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行. 【变式训练2】如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 【证明】如图所示，连接AC，设AC交BD于O，连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点. 又因为M是PC的中点，所以MO∥PA. 又因为MO?平面BDM，PA?平面BDM，所以PA∥平面BDM， 平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH. 题型三　线面、面面平行的性质 【例3】 如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问此截面在什么位置时其面积最大？ 【解析】因为AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC
和平面ABD分别交于FG，EH. 所以AB∥FG，A
B∥EH，所以FG∥EH， 同理可证EF∥GH，所以截面EFGH是平行四边形. 设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α，FG＝x，GH＝y， 则由平面几何知识得＝，＝， 两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)， 所以SEFGH＝FG·GH·sin α＝x·(a－x)·sin α＝x(a－x). 因为x＞0，a－x＞0且x＋(a－x)＝a为定值， 所以当且仅当x＝
a－x即x＝时， 此时SEFGH＝，即E、F、G、H为所属线段中点时，截面面积最大. 【点拨】先利用线面平行的性质，判定截面形状，再建立面积函数求最值. 【变式训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面α平行于正方体的体对角线BD1，则平面α在该正方体上截得的图形不可能为(　　) ①正方形
；②正三角形；③正六边形；④直角梯形. A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ 【解析】选D. 总结提高 线面平行的判定方法之一是线面平行的判定定理，之二是证面面平行，解题关键是在面内找到一线与面外一线平行，或由线面平行导出面面平行.性质的运用一般要利用辅助平面.

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