10.5 直线、平面垂直的判定及其性质
典例精析
题型一 面面垂直的判定与性质
【例1】 平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为和，求AB与α，β的交线l所成的角的大小.
【解析】过A、B分别作AA′⊥l，BB′⊥l，垂足分别为A′、B′，则AA′⊥β，BB′⊥α.
连接A′B，AB′，则∠ABA′＝，∠BAB′＝.
设AB＝1，则AA′＝，AB′＝，BB′＝，所以A′B′＝.
过B作BC∥l且BC＝，连接A′C、AC，则∠ABC为AB与l所成的角，
因为A′B′BC，且B′B⊥A′B′，所以A′B′BC为矩形，所以A′C⊥BC.
又因为AA′⊥BC，AA′∩A′C＝A′，所以BC⊥平面AA′C，所以AC⊥BC.
在Rt△ACB中，cos∠ABC＝＝，
所以∠ABC＝，即AB与l所成的角为.
【点拨】此题关键是根据面面垂直的性质，构造直角三角形.
【变式训练1】如图一所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.
求证：平面O1DC⊥平面ABCD.
【证明】要证明平面O1DC与平面ABCD垂直，考虑到图中已知平面ABCD的垂线A1O，因而设法在平面O1DC中找出A1O的平行线.
如图二所示，连接AC，BD，A1C1，则O为AC、BD的交点，O1为A1C1、B1D1的交点.
由棱柱的性质知：A1O1∥OC，且A1O1＝OC，
所以四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.
又A1O⊥平面ABCD，所以O1C⊥平面ABCD，
又O1C?平面O1DC，所以平面O1DC⊥平面ABCD.
题型二 线面垂直的判定与性质
【例2】 Rt△ABC所在平面外一点S满足SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【证明】(1)设E是AB的中点.
因为D是AC的中点.
所以DE∥BC，又BC⊥AB，所以DE⊥AB.
因为SA＝SB，所以SE⊥AB，又SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE，
而SD?平面SDE，所以AB⊥SD，
又SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.
而AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，则BD⊥AC.
又由(1)知，SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，而SD∩AC＝D，
所以BD⊥平面SAC.
【点拨】证明直线与平面垂直，关键在于证明直线与平面内的两相交直线垂直.
【变式训练2】如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在上底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
【解析】选A.
题型三 折叠问题
【例3】 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图所示：
(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；
(2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折叠后的图形中∠PFE的正切值.
【解析】(1)折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以△ABD为等腰直角三角形.
又因为∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°.
折叠后，因为平面PBD⊥平面BCD，CD⊥BD，
所以CD⊥平面PBD，又因为PB?平面PBD，所以CD⊥PB.
又因为PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥平面PDC，
又PB?平面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.
(2)AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的这些位置关系不变，所以PE⊥BD，
又平面PBD⊥平面BCD，所以PE⊥平面BCD，所以PE⊥EF，
设AB＝AD＝a，则BD＝a，所以PE＝a＝BE，
在Rt△BEF中，EF＝BE·sin 45°＝a×＝a.
在Rt△PFE中，tan∠PFE＝＝＝.
【点拨】翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形各个对应元素的相对变化，元素间的大小与位置关系.一般而言，在翻折过程中， 处在同一个半平面内的元素是不变的，弄清这一点是解决这类问题的关键.
【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求三棱锥E－ABD的侧面积.
【解析】(1)证明：在△ABD中，
因为AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
所以BD＝＝2.
所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.
又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
所以AB⊥平面EBD.
因为DE?平面EBD，所以AB⊥DE.
(2)由(1)知AB⊥BD.
因为CD∥AB，所以CD⊥BD. 从而DE⊥BD.
在Rt△DBE中，因为DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，
所以S△BDE＝DB·DE＝2.
又因为AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，所以AB⊥BE.
因为BE＝BC＝AD＝4，所以S△ABE＝AB·BE＝4.
因为DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，所以ED⊥平面ABD，
而AD?平面ABD，所以ED⊥AD，所以S△ADE＝AD·DE＝4.
综上，三棱锥E-ABD的侧面积S=8+2.
总结提高
垂直关系是空间元素间的重要位置关系之一，是立体几何中的重点，也是历年来高考考查的点.解此类题的关键是三种垂直关系的相互转化.
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