12.8 离散型随机变量及其分布列
典例精析
题型一 离散型随机变量的分布列
【例1】设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.
【解析】首先列表如下：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列如下：
2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
【点拨】由于X的不同的值，Y＝f(X)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(X)＝Y成立的X1，X2，…，Xi的值，则P (Y)＝P(f(X))＝P(X1)＋P(X2)＋…＋P(Xi)，在第(2)小题中充分体现了这一点.
【变式训练1】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过渡区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假定D受A、B、C感染的概率都为，在这种假定之下，B、C、D中受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X分布列，并求均值.
【解析】依题知X可取1、2、3，
P(X＝1)＝1×(1－)×(1－)＝，
P(X＝2)＝1×(1－)×＋1××(1－)＝，
P(X＝3)＝1××＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
题型二 两点分布
【例2】在掷一枚图钉的随机试验中，令ξ＝如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量ξ的分布列.
【解析】根据分布列的性质，针尖向下的概率是1－p.于是，随机变量的分布列是
ξ
0
1
P
1－p
p
【点拨】本题将两点分布与概率分布列的性质相结合，加深了两点分布的概念的理解.
【变式训练2】 若离散型随机变量ξ＝的分布列为：
ξ
0
1
P
9c2－c
3－8c
(1)求出c；
(2)ξ是否服从两点分布？若是，成功概率是多少？
【解析】(1)由(9c2－c)＋(3－8c)＝1，解得c＝或.
又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以c＝.
(2)是两点分布.成功概率为3－8c＝.
题型三 超几何分布
【例3】 有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数 X 的分布列.
【解析】X的所有可能取值为 0,1,2,3，X＝0表示取出的5件产品全是正品，
P(X＝0)＝＝＝；
X＝1表示取出的5件产品有1件次品4件正品，
P(X＝1)＝＝＝；
X＝2表示取出的5件产品有2件次品3件正品，
P(X＝2)＝＝＝；
X＝3表示取出的5件产品有3件次品2件正品，
P(X＝3)＝＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
【点拨】在取出的5件产品中，次品数X服从超几何分布，只要代入公式就可求出相应的概率，关键是明确随机变量的所有取值.超几何分布是一个重要分布，要掌握它的特点.
【变式训练3】一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
A. B. C. D.
【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.选C.
总结提高
1.求离散型随机变量分布列的问题，需要综合运用排列、组合、概率等知识和方法.
2.求离散型随机变量ξ的分布列的步骤：
(1)求出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…)；
(2)求出各取值的概率P(ξ＝xi)＝pi；
(3)列出表格.
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