13.2 两变量间的相关性、回归分析和独立性检验
典例精析
题型一 求回归直线方程
【例1】下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用(万元)的几组统计数据：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)若y对x呈线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程y＝x＋；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
【解析】(1)因为xiyi＝112.3，x＝4＋9＋16＋25＋36＝90，且＝4，＝5，n＝5，
所以＝＝＝1. 23，＝5－1.23×4＝0.08，
所以回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，
所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元.
【点拨】当x与y呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归直线方程进行计算和预测.
【变式训练1】某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据.
x
3
4
5
6
y
2. 5
3
4
4.5
据相关性检验，y与x具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么y关于x的回归直线方程是 .
【解析】先求得＝4. 5，＝3.5，由＝0.7x＋a过点(，)，则a＝0.35，所以回归直线方程是＝0.7x＋0.35.
题型二 独立性检验
【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：
种子灭菌
种子未灭菌
合计
黑穗病
26
184
210
无黑穗病
50
200
250
合计
76
384
460
试按照原试验目的作统计分析推断.
【解析】由列联表得：
a＝26，b＝184，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460.
所以K2＝＝≈4.804，
由于K2≈4.804＞3.841，
所以有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的.
【变式训练2】(2013东北三省三校模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重
不超重
合计
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
合计
7
13
20
附：独立性检验临界值表
P(K2≥k0)
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
5.024
6.635
7.879
10.828
(独立性检验随机变量K2值的计算公式：K2＝)
【解析】由表可得a＋b＝5，c＋d＝15，a＋c＝7，b＋d＝13，ad＝48，bc＝3，n＝20，运用独立性检验随机变量K2值的计算公式得K2＝＝≈5.934，
由于K2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
总结提高
1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.
2.样本的随机性导致由线性回归方程所作出的预报也具有随机性.
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