16.2　直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质 典例精析 题型一　切线的判定和性质的运用 【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延
长线于点E，OE交AD于点F
. (1)求证：DE
是⊙O的切线； (2)若＝，求的值. 【解析】(1)证明：连接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC， 所以OD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD， 又OD为半径，所以DE是⊙O的切线. (2)过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB， ＝cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝， 设OD＝5x，则AB＝10x，OH＝2x，所以AH＝7x. 由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x， 又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF＝AE∶OD＝， 所以＝. 【变式训练1】已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于点F. (1)求证：AF＝CF； (2)若ED＝4，sin∠E
＝，求CE的长. 【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO
＝，所以∠ADF＋∠BDO＝，又因为在⊙O中OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝. 在Rt△ABC中，∠A＋∠CBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD. 又在Rt△ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线， 又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF. 所以AF＝CF. 方法二：在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线， 又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD. 又由BC为⊙O的直径可知，∠ADF＋∠FDC＝，∠A＋∠FCD＝， 所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF. 所以AF＝CF. (2)因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5. 又FD＝3＝FC，所以CE＝2. 题型二　圆中有关定理的综合应用 【例2】如图所示，已知⊙O1与⊙O2
相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P. (1)求证：AD∥EC； (2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长. 【解析】(1)连接AB，因为AC是⊙O1的切线，所以∠BAC＝∠D， 又因为∠BAC＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥EC. (2)方法一：因为PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线， 所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·(PB＋9)，所以PB＝
3. 在⊙O2中，由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，所以PE＝4. 因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线， 所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12. 方法二：设BP＝x， PE
＝y. 因为PA＝6，PC＝2，所以由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，即xy＝12.① 因为AD∥EC，所以＝，所以＝.② 由①②可得
或
(舍去)，所以DE＝9＋x＋y＝16. 因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12. 【变式训练2】如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，
，DE交AB
于点F，且AB＝2BP＝4. (1)求PF的长度； (2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度. 【解析】(1)连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠CDE＝∠AOC. 又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP， 从而∠PFD＝∠O
CP，故
△PFD∽△PCO，所以＝. 由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，故PF＝
＝＝3. (2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r， 因为OF＝2－r＝1，即r＝1， 所以OB是圆F的
直径，且过点P的圆F的切线为PT， 则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即P
T＝2. 题型三　四点共圆问题 【例3】如图，圆O与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及
其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于
点F. (1)求证：B、P、E、F四点共圆； (2)若CD＝2，CB＝
2，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径. 【解析】(1)证明：连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC. 又因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°， 所以B，P，E，F四点共圆. (2)因为B，P，

E，F四点共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF. 因为BC切圆P于点B
，且CD＝2，CB＝2， 所以由切割线定理CB2＝CD·CE，得CE＝4，DE＝2，BP＝1. 又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，所以EF∶PB＝CE∶CB，得EF＝. 在Rt△FEP中，PF＝＝，
即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为
. 【变式训练3】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.求证： (1)O，B，D，E四点共圆； (2)2DE2＝DM·AC＋DM·AB. 【证明】(1)
连接BE，则BE⊥EC. 又D是BC的中点，所以DE＝BD. 又OE＝OB，OD＝OD，所以
△ODE≌△ODB， 所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四点共圆. (2)延长DO交圆O于点H. 因为DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH＝DM·(AC)＋DM·(AB)， 所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB. 总结提高 1.直线与圆的位置关系
是一种重要的几何关系. 本章在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据. 2.圆中
的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解.

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