第十七章 坐标系与参数方程
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一、坐标系
1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.
二、参数方程
1.了解参数方程，了解参数的意义.
2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.
3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.
4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
本章重点：
1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.
2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.
本章难点：
1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.
2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.
坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.
本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.
高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.
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17.1 坐标系
典例精析
题型一 极坐标的有关概念
【例1】已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，)，B(5，)，C(－4，)，试判断△ABC的形状，并求出它的面积.
【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得∠AOB＝，∠BOC＝，∠AOC＝.
又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝4，由余弦定理得
|AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|·cos∠AOC＝52＋(4)2－2×5×4·cos＝133，
所以|AC|＝.同理，|BC|＝.
所以|AC|＝|BC|，所以△ABC为等腰三角形.
又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5，
所以AB边上的高h＝＝，
所以S△ABC＝××5＝.
【点拨】判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.
【变式训练1】(1)点A(5，)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为 ；
(2)点P(－，)与曲线C：ρ＝cos 的位置关系是 .
【解析】(1)(5，－)；(－5，).(2)点P在曲线C上.
题型二 直角坐标与极坐标的互化
【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程.
同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.
(2) 由解得或
即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，
故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.
【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.
【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为d，求d的最大值.
【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，
ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x＋y＝2.
在x2＋y2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)，
则点A到直线的距离为d＝＝，它的最大值为4.
题型三 极坐标的应用
【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.
【解析】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以
ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x＝0.
【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.
【变式训练3】如图，点A在直线x＝5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.
【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，
则直线x＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.
设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
因为点A在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①
因为△OPA为等腰三角形，且∠OPA＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝30°，
所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②
把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos(θ－30°)＝5.
题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换
【例4】定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.
(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tan θ＝时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；
(2)当tan θ＝时，求(1)中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标.
【解析】(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由椭圆定义知焦距2c＝2?c＝，即a2－b2＝2.①
又由已知得a2＋b2＝4，②
故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.
即椭圆C的标准方程为＋y2＝1，
且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(－，0)和F2(，0).
对于变换T：当tanθ=时，可得
设F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分别是由F1(－，0)和F2(，0)的坐标经变换公式T变换得到.
于是
即F1′的坐标为(－，－)；
又
即F2′的坐标为(，).
(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tan θ＝时，
有?x＝3y，由点P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得＋y2＝1
?因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(，)和(－，－).
【变式训练4】在直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换 后变成直线2x′－y′＝4.
【解析】
总结提高
1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立.
2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.
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